Порядковые аппроксимации в свободных конструкциях

• Автор: Едынак, Владимир Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 72 с.

Содержание

1 Введение и вспомогательные сведения

1.1 Введение

1.2 Виды порядковых аппроксимаций

1.3 Вспомогательные сведения из теории графов

1.4 Графы действия групп

2 Порядковая отделимость

2.1 Порядковая отделимость свободных произведений

2.2 О порядковой отделимости свободных произведений с

коммутирующими подгруппами

3 Свойства свободных произведений, близкие к потентности

3.1 Изучение омнипотентности свободных произведений
3.2 Обощение квазипотентности для свободных произведений
групп
3.3 О взаимно простых порядках
4 Нормальные подгруппы относительных копредставлений

1 Введение и вспомогательные сведения 1.1 Введение
Данная работа посвящена изучению вопроса о том, в элементы каких порядков можно перевести заданное множество элементов некоторой группы при гомоморфизме в конечную группу. Например, в работе изучается вопрос о том, может ли порядок образа элемента и некоторой группы быть больше чем порядок образа некоторого другого элемента при гомоморфизме в конечную группу. Изучение данного свойства было начато в [1], где было показано, что оно справедливо для свободных групп. В [2] было показано что данное свойство, переносится на свободные произведения. Данный результат нашел применение при изучении автоморфизмов гиперболических групп [13]. Подобные свойства изучаются в работе для свободных конструкций: свободных произведений с объединенными подгруппами, НИИ расширений. Также в работе рассматриваются конечные множества элементов группы, состоящие более чем из двух элементов, и изучаются вопросы, связанные с соотношением величин порядков образов элементов при гомоморфизме к конечную группу. Например, показывается, что порядки образов элементов из произвольного конечного множества свободной группы, могут быть попарно различны при гомоморфизме в конечную группу за исключением вырожденных случаев. Также изучен вопрос о существовании гомоморфизма из группы в конечную группу, при котором порядок образа одного элемента является произвольным кратным некоторой константы, а 'порядки образов некоторых других элементов постоянны. Данное свойство тесно связано с омнипотентностью, которая применяется при изучении финитной отделимости относительно вхождения в конечно порожденные подгруппы, например в работе [16]. При изучении порядковой отделимости свободных произведений свободных групп с объединенной циклической подгруппой доказывается утверждение, обобщающее понятие регулярного фактора свободной группы, которое использовалось в [18] для изучения финитной отделимости относительно вхождения в конечно порожденные подгруппы для НИК расширений свободной группы с циклическими связанными подгруппами. В главе 3 изучается вопрос о том каким числам может быть равен порядок образа элемента свободного произведения при гомоморфизме в конечную группу. Например, данный порядок может быть любым натуральным числом, если элемент принадлежит Декартовой подгруппе свободного произведения финитно аппроксимируемых групп. Также в третьей главе изучается мало изученный вопрос о квазипотентности НИИ-расширений.
В последней главе работы изучается вопрос о наличии нормальных подгрупп в относительном копредставлении группы без кручения и о

монолнтичности такой подгруппы.
Изучение порядковых аппроксимаций было начато в середине прошлого века. Одним из первых результатов в этой области было доказательство того, что свободная группа является квазипотептной.
В старых работах группы, обладающие данным свойством, назывались группами с регулярными факторами, при этом рассматривались лишь элементы бесконечного порядка. Говорят, что группа б? обладает регулярными факторами, если для любого ее элемента д бесконечного порядка существует натуральное /г, такое что для любого натурального п существует гомоморфизм из С в конечную группу, такой что порядок образа д равен кп. Позже, было показано, что, если группа содержит подгруппу конечного индекса, обладающую регулярными факторами, то и вся группа обладает этим свойством. Примерно в это же время было доказано, что, если группа б? содержит потентную подгруппу Н конечного индекса, то для группы б? каждый элемент к из Н является потентным.
То есть из существования гомоморфизма группы Н в конечную группу, переводящего /г в элемент произвольного порядка следует существование аналогичного гомоморфизма и для группы б?.
Имеется несколько работ малазийского математика, профессора Вонг Пенг Чуна, посвященных свойству потентности. Например, в [6] доказано, что, для потентной группы б? без кручения и ее подгруппы К, такой что б? финитно отделима относительно вхождения в К, потентной будет также группа где : С °1 ~ изоморфизм,
К[ = <р,(К),фк = <р3 о ср-1.
Отметим еще несколько известных результатов о порядковых . аппроксимациях. Несложно доказать, что группы, аппроксимируемые конечными р-группами для любого простого р, потентны [9]. Там же найдены различные достаточные условия для того, чтобы свободные произведения, 1Ш]Ч-расширения и расширения групп являлись квазипотентными. В [8] показано, что конечно порожденная метабелева группа б?, будет 2-порядково отделимой тогда и только тогда, когда для любых и, и € С, таких что и не сопряжен с и±1, нормальные замыкания в группе б? элементов и и V различны.1 ''
В [16) было показано, что свободная группа является омнипотентной, то есть для любого набора элементов не лежащих попарно
в сопряженных циклических подгруппах, существует натуральное число /с, такое что для любого упорядоченного набора натуральных чисел существует гомоморфизм (р из свободной группы в конечную, такой что порядок (р(иг) равен Ш,г. Таким образом порядок образа одного элемента может быть больше чем, например, произведение порядков образов остальных элементов. Ниже данная теорема обобщается для случая свободных произведений, когда рассматривается конечные множества

группы С можно считать, что все слова из О длины, не превосходящей 10, имеют неединичный образ. Предположим, что |()| — 'Ф{'1})-
Рассмотрим граф Кэли Г группы т/ф С?) с порождающим множеством {(?,£}. Зафиксируем для и * иг» следующие приведенные записи:
и = 9а Шч іС'9Іу = К Щч 9і = -1 X = А х (/Д), ГДе
0 і п, 0 у т. Рассмотрим индуктивный процесс построения графов Г £ действия группы С,0 < & М. Символ М представляет собой или некоторое натуральное число или бесконечный символ, М выберем позже. Графы Гд; удовлетворяют следующим свойствам:
1) длина каждого н-цикла делит длину максимального н-цикла; аналогичное условие выполнено для н-циклов
2) длины максимальных V- и п-циклов совпадают
3) представители и и и-циклов не имеют 3-близких вершин
4) в графе Гд при к > 0 существует путь длины, не меньшей чем к, такой что существует представитель максимального п-цикла, имеющий подпуть, С-близкий к пути Як, и представители всех максимальных н-ЦИКЛОВ имеют подпути, Є-блИЗКИе К пути в к
5) если /к — последнее ребро пути вк, то метка положительно ориентированного ребра из пары ребер Д., г](/к) равна і
Напомним, что из отсутствия 3-близких вершин у цикла вытекает отсутствие у него 2- и 1-близких вершин.
Положим Го = Г. Очевидно,'свойства 1), 2) выполнены для графа Го по определению графа Кэли. Свойство 3) выполнено в силу условий на ф. Предположим, что имеется граф Г к,к 0. Построим граф Гд,+і. Пусть р — ш(Бк) при к > 0. Если к = 0, то за р примем произвольную вершину в

Пусть Бк — е еік. Рассмотрим представитель максимального н-цикла, имеющий подпуть, Є-близкий к и соответствующий выбранной приведенной записи для и : Т = Д /г, и подпуть /;+1 С-близок к ,Ь'/. (процесс построения графов будет таким, что длина Д и длина С-близкого к Бк пути представителя н-цикла будут равными). Если к — 0, то в качестве Т берем произвольный' представитель некоторого п-цикла, проходящий через р, и полагаем, что I — 1к — 0.
В силу условия 5) (для к > 0) и определения С-близких путей
можно считать, что /шк и или ?7(/;+;д) имеет метку і. Поэтому ЬаЬ(/(+ц+і) Є Є (возможно, ЬаЬ(/;+ц+і) = 1, и тогда ребро /і+ік+1 является петлей). По определению приведенной записи для НИИ расширений метка положительно ориентированного ребра из пары ребер /г++г, ц(Д+д+г) равна 1 Пусть п — длина максимального н-цикла в Д Построим граф Г'к+1 = 6п(Тк,Я), где Я. = А(со(/Шк+1)), если ,/)+ц+2 положительно ориентировано, либо Я — если /)+ц+2 отрицательно
ориентировано. Для графа Г).+1 выполнено свойство 3), так как в противном