Диофантовы приближения в логарифмических пространствах

• Автор: Матвеев, Евгений Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 220 с.

Актуальность работы

Цель работы, главные результаты

Методы исследования

Научная новизна

Практическая и теоретическая ценность

Структура и содержание основной части

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

1. Некоторые сведения из линейной алгебры

2. Выпуклые тела

3. Решетки

4. Аддитивные алгебраические решетки

5. Лемма Зигеля
6. Логарифмические алгебраические решетки
7. Алгебраические числа малой логарифмической высоты
8. Последовательные минимумы логарифмических высот
9. Мультипликативные соотношения
10. Формулировка основной теоремы
11. Неравенство Лиувилля
12. Индуктивное предположение
13. Обобщенные биномиальные многочлены
14. Общий вид вспомогательных функций
15. Описание набора мульти-показателей
16. Схема арифметико-аналитического продолжения
17. Выбор параметров
18. Построение исходной вспомогательной функции
19. Интерполяционная формула
20. Экстраполяция нулей

21. Деление аргумента
22. Оценка кратностей нулей
23. Доказательство основной теоремы
24. Доказательство теоремы 10.2
25. Доказательство следствия 10.3
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ОБОЗНАЧЕНИЯ
ФОРМУЛЬНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
СПИСОК ОСНОВНЫХ ТЕРМИНОВ
РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ВВЕДЕНИЕ АКТУАЛЬНОСТЬ РАБОТЫ
Классический результат Эрмита [40] (1873) и Линдемана [45] (1882) о трансцендентности числа а-е^ для алгебраического /7^0 можно после логарифмирования записать в виде А = 1па- ДфО (при алгебраическом а Ф 0, Іпа^О). В 1900 году Гильберт [6] сформулировал 23 математических проблемы, решение которых, по его мнению, могло бы существенно продвинуть развитие математики. Среди них под номером «7» была задача о трансцендентности числа а2-<Х для алгебраических а,,/7 (кроме тривиальных случаев СС є {0,1} или /7 є (ф). Логарифмирование снова приводит к выражению вида Л = /31п ах - 1п а2 Ф 0 (в случае алгебраических а,, а2, Р ).
Обычно при решении подобных задач небольшая модификация доказательств позволяет получать не только, что Л ф 0, ной выводить нижнюю оценку для | Л | в терминах различных характеристик участвующих чисел , а2,р, что составляет типичную проблему теории диофантовых приближений.
Естественным обобщением результата Эрмита-Линдемана и седьмой проблемы Гильберта является исследование выражений
А = Л) + /?, 1п«, +•■• +Д, 1пап, (0.1)
с алгебраическими /30 /3п,ах ап (а} Ф 0, 1пФ 0, 2 -1, ,тг). Далее для
краткости мы будем называть приведенное выше выражение линейной формой от логарифмов (алгебраических чисел).
Последующее развитие теории чисел показало, что эта задача имеет не только самостоятельный теоретический интерес, но и позволяет решать ряд других проблем. Причем осознано это было до появления необходимых оцеИз других Ъ -модулей в поле К важную роль играют идеалы, т.е. конечно порожденные модули, для которых кольцо множителей содержит Ок. Как Ъ-модули, ненулевые идеалы полны, т.е. имеют вид а-{ах а0)г с числами а} ап линейно независимыми над Ъ. В то же время, если рассматривать идеалы как О -модули, то образующих может быть меньше, здесь используется обозначение а = (а1 ат)с> = (а1 ат). В частности, идеал с одной образующей (а) называется главным.
Если идеал целый, т.е. асО, то нормой идеала называется число [О: а] = Могт(а). Тогда согласно лемме 3.1 соответствующий объем равен
Уо1 п(д(а)) = Могт(а)Уо(Р) = МогтСсф^зсСК)!''2. (4.3)
Ввиду мультипликативности нормы эта формула распространяется и на дробные идеалы. Кроме того, для главных идеалов эта формула согласуется и с нормой алгебраического числа.
В данном разделе мы докажем оценку дискриминанта, для чего нам потребуются дополнительные понятия. Пусть число а является корнем неприводимого многочлена над Ъ (в частности, примитивного, у которого коэффициенты в совокупности взаимно просты)
/(х) = а0хЛ + аххЛ~х + • • • + аа = а0(х - а,) • • • (х - аа).
Тогда мерой Малера и абсолютной логарифмической высотой числа а называются соответственно выражения
м(а) = |а0|ГТ тах{1,|аг|}, Ь(а) = ^-1пМ(ог).
ЛЕММА 4.2. [9, с. 69] Пусть аеК, (от) = а/Ь, где а,Ь - целые взаимно простые идеалы. Тогда
Попл^ГТ13 тах{1, | сс{а) |} = е°Ча). □
X Хсг=]