Аддитивные задачи в теории чисел

• Автор: Толев, Дойчин Иванов
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Пловдив
• Количество страниц: 165 с.

Содержание
1 Введение.

1.1 Обозначения:

1.2 Некоторые результаты аддитивной теории чисел

1.2.1 Проблема Варинга

1.2.2 Обобщения проблемы Варинга

1.2.3 Проблемы Гольдбаха

1.2.4 Проблема Гольдбаха - Варинга

1.2.5 Представление чисел в виде суммы квадратов простых чисел

1.2.6 Некоторые обобщения проблемы Гольдбаха - Варинга

1.2.7 Редкие множества из простых чисел

1.2.8 Аддитивные задачи с простыми числами из редких множеств
1.3 Результаты автора по теме диссертации
1.3.1 Диофантово неравенство с простыми числами, близкими к квадратам
1.3.2 Диофантово неравенство типа Гольдбаха - Варинга с нецелой степенью, близкой к единице
1.3.3 Диофантово неравенство типа Гольдбаха - Варинга с различными
нецелыми степенями
1.3.4 Уравнение типа Гольдбаха - Варинга с нецелой степенью, близкой
к единице
1.3.5 Система из двух диофантовых неравенств с простыми числами
1.3.6 Система диофантовых уравнений с простыми числами из редкого
множества
1.3.7 Распределение простых чисел из редкого множества в арифмети-
чески*х прогрессиях
1.3.8 Тернарная задача с простыми числами, одно из которых принадлежит арифметической прогрессии
1.3.9 Тернарная задача с простыми числами, два из которых принадлежат арифметическим прогрессиям
1.3.10 Тернарная задача с простыми числами р, такими что числа р +
почти простые
1.3.11 Представление чисел в виде суммы двух простых р, таких что
р + 2 почти простые
1.3.12 Уравнение Лагранжа с почти простыми неизвестными
1.4 Основные результаты диссертации
1.4.1 Теорема Лагранжа с одним простым и тремя почти простыми неизвестными
1.4.2 Представление чисел в виде суммы квадратов простых чисел р,
таких что р + 2 почти простые
2 Известные результаты и некоторые следствия из них.
2.1 Элементарные леммы
2.2 Результаты о распределении простых чисел
2.3 Свойства сумм Гаусса, Клостермана и Рамануджана

2.4 Некоторые результаты математического анализа
2.5 Леммы из теории решета
2.6 Леммы нужны для оценки тригометрических сумм по простым числам
3 Доказательство Теоремы 1.
3.1 Корректность определений некоторых величин
3.2 Начало доказательства Предложения
3.3 Оценка для суммы £%
3.3.1 Подготовка
3.3.2 Асимптотическая формула для £^
3.3.3 Асимптотическая формула для £%
3.3.4 Асимптотическая формула для 8^
3.3.5 Оценка для £
3.4 Оценка для суммы £
3.4.1 Подготовка
3.4.2 Асимптотическая формула для £^
3.4.3 Асимптотическая формула для £^
3.4.4 Асимптотическая формула для £^
3.4.5 Оценки для V* и О*
3.4.6 Оценка для Е*
3.4.7 Оценка для £
3.5 Конец доказательства Предложения
3.6 Доказательство Предложения
3.6.1 Начало доказательства
3.6.2 Оценка для суммы С(х)
3.6.3 Конец доказательства Предложения
3.7 Доказательство Теоремы
4 Доказательство Теоремы 2.
4.1 Доказательство Предложения
4.1.1 Начало доказательства
4.1.2 Малые дуги
4.1.3 Большие дуги
4.2 Доказательство Теоремы
4.3 Доказательство Следствия

1 Введение.
1.1 Обозначения:
Через N, Ъ, К и С обозначим, соответственно, множества натуральных, целых, действительных и комплексных чисел. Буквой р (с или без индексов) обозначим простые числа. Через Рг обозначим любое натуральное число, имеющее не более г простых сомножителей в каноничном разложении (каждый простой сомножитель считается с кратностью). Эти числа называются почти простыми порядка г.
Формулы U = 0(V) и U < V обозначают, что |{7| < cV для некоторой постоянной с > 0. Если постоянные в выражении 0(V) и в формуле U -С V зависят, например, от а и /?, то чтобы подчеркнуть эту зависимость, запишем Oa}0(V) и соответственно U <а,0 V.
Если одновременно V <С V и V <С U. запишем U х V. Если постоянные в последней формуле зависят, например, от а, то будем писать U Ха V.
Знак □ обозначает конец доказательства или его отсутствие.
Суммы по х, пробегающие полную, соответственно приведенную систему вычетов по модулю q, будем обозначать через 12x(q) и’ соответственно }£*(«)•• Суммы по натуральным числам х, не превосходящим величину Z, будем обозначать через 12x}k означает, что суммирование ведется по всем натуральным числам 6 , делящих к .
В диссертации часто встречаются суммы, где переменные пробегают сложные множества. Для ЭТОГО введены некоторые сокращения. Суммы 2(D), 12(П)і 12*i 12' и 12* определены, соответственно, на страницах 23, 49, 117, 140, и 147.
Далее, ]С*,у:(юо)» например, означает, что переменные х, у пробегают множество, заданное формулой (100). Отметим, что аналогичный смысл имеет обозначение тахзр,у:(іоо) • Точный смысл формул такого типа становится ясным из контекста.
Обозначим р1 || п если р( | п и р,+1 п. Через (тої,..., то*) и [тої,..., то*] мы обозначаем, соответственно, наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел т і, ... ,т*. Однако, если у, z Є К, то через (у, z) обозначаем открытый интервал с концами у и z. Точный смысл выясняется всегда из контекста.
Жирными буквами будем обозначать трехмерные векторы. Например, d = (di,d2,d3) обозначает вектор с компонентами di,d2,d3. Как обычно, 0 = (0,0,0).
Для простоты вместо то г га (mod к) часто будем использовать обозначение то = п (к). Иногда модуль сравнения к равен наибольшему общему делителю (в, 6). Тогда будем писать то = га ((а, 6)).
Если t Є К, то через [і] будем обозначать целую часть числа t, {t} = t - [f], ||t|| = minK€z 11 - n|, e(t) - exp(27rit), eq(t) = e(t/q).
Если (a, q) = 1, то обозначим через (а) вычет 6 по модулю q, удовлетворяющий ab = 1 (?). Если значение модуля ясно из контекста, то для простоты будем писать
а. Например, е,(о) всегда означает eq((a)q). Для любого а € Z будем считать, что еі(а) = 1.
Будем пользоваться обычными обозначениями для основных функций в теории чисел:

2.2 Результаты о распределении простых чисел.
Следующая лемма содержит некоторые элементарные результаты о распределении простых чисел, а именно, теорему Чебышева, формулу Мертенса и ее следствие.
Лемма 16. Выполнены оценки
(і) ^ х х для всех х > 2 ,

(и) ^2 ~ = 1о81о£ х + с0 + 0((Ьв х)'1)
р<х ^
для некоторой постоянной со Є К « для всех х > 2,
(ш) Д (і + х„ (к^ж)а.
—а<р<х
для произвольной постоянной а Є К и для всех х > тах(2, —а).
Доказательство: Доказательства (г) и (и) можно найти в [7] на стр. 122 и 123.
Чтобы доказать (т), берем логарифм произведения и используем затем формулу Тейлора и асимоптотическую формулу (и).

Теперь сформулируем два результата о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях с большими разностями. Определим
(89) Д(ж, я, т) = в(х, я, то) - ,
(90) Д*(ж,5)=тах тах А(у,я,т).
у<х (т,д)=
Следующая лемма представляет собой вариант теоремы Барбана - Дэвенпорта -Хальберстама.
Лемма 17. Для любой постоянной А > 0 можно найти В = В(А) > 0 такое, что
53 53 А(ж’ т)2 ж2(108 х^Л •
q Доказательство: Смотри, например, [35], гл.29.

Следует теорема Бомбиери - А.И.Виноградова.
Лемма 18. Для любой постоянной А > 0 выполнена оценка
53 Д*(ж,?) <А ж(1оёж)5“А.
д<.х*!2 (1о§ а?)—А