Автоморфизмы и элементарная эквивалентность групп Шевалле и других производных структур

• Автор: Бунина, Елена Игоревна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 309 с.

Оглавление

1 Автоморфизмы групп Шевалле

1.1 Определения и формулировки основных теорем

1.2 Замена изначального автоморфизма на специальный изоморфизм

1.3 Образы элементов и>а

1.3.1 Системы корней Л(, Д, Ег

1.3.2 Системы корней В;

1.3.3 Система корней С?

1.4 Образы элементов т„;(1) и диагональных матриц

1.4.1 Системы корней А{} Д, С;

1.4.2 Система корней В;

1.4.3 Система корней Рд
1.4.4 Система корней С?
1.5 Доказательство теоремы
1.6 Начало доказательства теоремы
1.7 Доказательство теоремы
1.7.1 Линейные системы в случае А
1.7.2 Линейные системы в случаях Д, I ^ 3
1.7.3 Система корней ^
1.7.4 Система корней С
1.7.5 Системы корней В(
1.8 Доказательство основной теоремы (теоремы 1)
1.9 Группы Шевалле над кольцами с необратимой двойкой
1.9.1 Замена изначального автоморфизма на специальный изоморфизм . .
1.9.2 Образы элементов гна;жа;(1) и некоторых элементов группы Вейля . .
1.9.3 Ограничение рассмотрения образов элементов ха(1) и ада(1) на различные части базиса
1.9.4 Образы элементов ша{ и 1^(1)
1.9.5 Образы элементов ха1{£)
1.9.6 Доказательство основной теоремы
2 Элементарная эквивалентность групп Шевалле
2.1 Обратная импликация
2.2 Переход к элементарной присоединенной группе
2.3 Идентификация в классических случаях

2.4 Изучение инволюций для классических групп Шевалле
2.4.1 Изучение инволюций для группы PSLn(K)
2.4.2 Изучение инволюций для групп типа С;
2.4.3 Изучение инволюций в группах типа В;
2.4.4 Изучение инволюций для групп типа D( (1 ^ 4)
2.5 Формулы, различающие разные классические группы Шевалле
2.6 Группа Шевалле типа G
2.7 Группы Шевалле типа F
2.8 Группа Шевалле типа Е§
2.9 Группа Шевалле типа Е
2.10 Группа Шевалле типа £§
2.11 Определимость поля в группах Шевалле
2.12 Изоморфизм решеток весов
2.13 Факторизация для локальных колец
2.14 Формулы для разложения Гаусса групп Шевалле
2.15 Элементарная эквивалентность базисных колец
3 Полугруппы неотрицательных матриц
3.1 Необходимые определения и понятия
3.2 Автоморфизмы полугруппы Gn(R)
3.2.1 Построение автоморфизма Ф'
3.2.2 Действие автоморфизма Ф' на диагональных матрицах
3.2.3 Основная теорема
3.3 Элементарная эквивалентность полугруппы Gn(R)
4 Эквивалентность в логике второго порядка
4.1 Языки и модели второго порядка
4.2 Элементарная эквивалентность категорий модулей
4.2.1 Некоторые сведения о категории модулей над кольцами
4.2.2 Выделение прообразующего объекта в категории mod-R
4.2.3 Кольцо End rP
4.2.4 Случай конечных колец
4.2.5 Красивые линейные комбинации
4.2.6 Порождающее множество мо/|уля V
4.2.7 Логика второго порядка и структура {Сп,ггпд), алгоритм перевода
формул
4.2.8 Обратная теорема
4.2.9 Аналог теоремы Мориты и следствия
4.3 Элементарная эквивалентность колец эндоморфизмов
4.3.1 Кольца эндоморфизмов модулей и категории Cm{V)
4.3.2 Элементарная эквивалентность в категориях вида См{г)
4.3.3 Основная теорема
4.4 Проективная геометрия модуля V

4.4.1 Язык проективной геометрии и основные понятия, определимые в
этом языке
4.4.2 Кольцо EndjiP
4.4.3 Построение кольца End rV
4.4.4 Обратная теорема
4.5 Эквивалентность групп автоморфизмов модулей
4.5.1 Изоморфизм групп AutR(V)
4.5.2 Элементарная эквивалентность групп автоморфизмов и колец эндоморфизмов модулей бесконечных рангов
4.5.3 Основная теорема
4.6 Эквивалентность колец эндоморфизмов абелевых групп
4.6.1 Предварительные сведения об абелевых группах
1.6.2 Формулировка основной теоремы, обратные теоремы, разбиение на
случаи
4.6.3 Ограниченные р-группы
4.6.4 Прямые суммы делимых и ограниченных р-групп
4.6.5 Группы с неограниченной базисной подгруппой
4.6.6 Основная теорема
Глава 1. АВТОМОРФИЗМЫ ГРУПП ШЕВАЛЛЕ

Обозначим матрицы щ и 9С1 (гуг) на этой части базиса через ги1 и (рх(и>,-), соответственно. Все эти матрицы являются инволюциями, при этом у них ровно одна — 1 в диагональной форме. Пусть У = У0г ® ^1 — разложение матрицы
Лемма 1.1. Матрицы <рх(«д) и уц(и^), при г ф ], коммутируют тогда и только тогда, когда У/ С V" и У/ С У0
Доказательство. Если Теперь по отдельности рассмотрим случаи различных систем корней.
1.3.1 Системы корней А[, Л/, Ё
Лемма 1.2. Для любой рассматриваемой системы корней Ф существует такой базис в У, что матрица ірі(ші) в этом базисе имеет тот же вид, что и Ю, т.е. равна
Доказательство. Так как гщ — инволюция, а У]1 имеет размерность 1, то существует базис {сх, е-2,..., в[}, в котором (рі(и)і) имеет вид diag [—1,1,..., 1]. В базисе {ех, е2 — 1/2еі, е3,..., е() матрица <рі(іУі) имеет искомую форму. □
Лемма 1.3. Для системы корней А2 существует такой базис, что (51(ш1) и £>і(іу2) в этом базисе имеют тот же вид, что гщ и гс2, т.е. равны
0 ■ (1 Л
соответственно.
Доказательство. По лемме 1.2 можно найти базис в У такой, что матрица в этом
базисе имеет тот же вид, что и г/ц. Пусть матрица ффюф) в этом базисе — это
а Ь с д