Критические решетки

• Автор: Перминова, Ольга Евгеньевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 128 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Мощности конечных критических решеток
1.1. Предварительные сведения
1.2. Описание конструкций п-элементных критических решеток для
п = 7и натуральных чисел п >
1.3. Доказательство жесткости построенных п-элементных решеток для натуральных чисел п >
1.4. Доказательство критичности построенных п-элементных решеток для натуральных чисел п >
1.5. О существовании критической неразборной решетки
Глава 2. Неаксиоматизируемость класса критических решеток
2.1. Ультрастеиень алгебраической системы по неглавному ультрафильтру
2.2. Конструкция счетной критической решетки
2.3. Доказательство арифметической незамкнутости класса критических решеток
Глава 3. Функция роста конечных жестких решеток
3.1. Описание конструкций жестких решеток
3.2. Доказательство экспоненциальное роста числа конечных жестких решеток
3.3. Описание алгоритма нахождения конечных строго жестких разборных решеток
Литература

Введение
Исследование преобразований математических структур является одной из важных областей современной математики. Относящиеся сюда постановки задач и, соответственно, направления исследований весьма многочисленны. Одним из наиболее известных направлений исследований является исследование групп автоморфизмов и полугрупп эндоморфизмов алгебраических систем и, в частности, автоморфизмов групп, колец и решеток. А одной из известных постановок в рамках этого направления является вопрос о том, насколько богаты рассматриваемые алгебраические системы преобразованиями того или иного вида (например, автоморфизмами). Типичным примером таких систем являются системы с транзитивной группой автоморфизмов.
В последние десятилетия стали интересоваться (’’полярным” по отношению к предыдущему) вопросом о том, насколько бедны рассматриваемые алгебраические системы преобразованиями того или иного вида. Известно много работ об алгебраических системах с бедной полугруппой эндоморфизмов, т.е. системах, любой эндоморфизм которых тривиален в некотором смысле. Наиболее сильное условие такого рода, очевидно, состоит в том, что система не имеет эндоморфизмов, кроме тождественного. Такие алгебраические системы получили название жестких и впервые начали изучаться в работах Вопен-ки, Пультра и Гердлипа [1] (жесткие графы), Длаба и Неймана [2] (жесткие полугруппы), Смирнова [3], Белеградека и Тайцлина [4] (жесткие универсальные алгебры), Байрамова [5] (жесткие алгебраические системы произвольной сигнатуры) и позднее во многих других работах.
Для некоторых классов алгебраических систем указанное понятие жесткости естественно модифицировать, объявив тривиальными эндоморфизмами, кроме тождественного и постоянные эндоморфизмы, преобразующие все элементы в какой-либо один элемент. Типичный пример — рефлексивные гра-
фы и решетки. Жесткие в этом смысле графы впервые рассматривались Хва-талом [6], решетки — Сиклером [7].
Отметим, что жесткие системы находят интересные приложения в теории представлений моноидов эндоморфизмами систем, в теории категорий и в некоторых других областях исследований. Таким приложениям специально посвящена монография Пультра и Триковой [8].
К настоящему времени вышло более восьмидесяти работ, в которых в явном виде изучались или использовались жесткие в том или ином смысле системы, см. обзор по состоянию до 1985 года в [9] и более поздние работы [10, 11] (жесткие бинарные отношения), [12] (жесткие топологические пространства и графы), [13] (жесткие частично упорядоченные множества), [14-16] (жесткие решетки и графы), [17] (жесткие универсальные алгебры) и многие другие. В соответствующей проблематике возникло несколько аспектов, которые были сформулированы в виде проблем, относящихся к одному фиксированному типу жесткости. Среди них отметим наиболее интересные проблемы.
Проблема 1 (о мощностях). Описание мощностей жестких систем из заданного класса.
Проблема 2 (об элементарной характеризации). Будет ли класс жестких систем из заданного класса аксиоматизируем.
Проблема 3 (алгоритмическая). Нахождение алгоритма перечисления всех конечных жестких систем из заданного класса.
Продолжая изучение свойства жесткости, естественно заинтересоваться минимальными (критичными) в этом смысле системами. А именно, под такой системой следует понимать жесткую систему, не обладающую собственными нетривиальными жесткими подсистемами. Например, в монографии Пультра и Триковой [8] критическим (ко-критическим) назван жесткий граф, удаление (добавление) любого ребра которого превращает его в нежесткий граф.
Тогда из
[ох, 62] —> [61, сх], [62, сз] —> [аз, 64]
следует, что любой гомоморфизм является тривиальным, т. е. гомоморфизмом, отображающим решетку в изоморфную ей или одноэлементную решетку. Поэтому, очевидно, решетка Д42 является простой.
Докажем теперь, что любой склеивающий эндоморфизм решетки /214 является ПОСТОЯННЫМ. Все простые интервалы решетки Т?14, за исключением [63,02], следующим образом связаны отношением
[О, аг] ~ [64, ф] ~ [аз, 63] ~ [0, ат] ~ [аг, 63] ~ [0, аз] ~ [04,63] ~ [62, Ф] ~ [й1, 64]
[С2, ф] ~ [ф,1] ~ [с2, Ф] ~ [йз, 64] ~ [ф, 1] ~ [С2, ф] ~ [Ф, 1],
[с2, ф] ~ [04,62] ~ [64, Ф] ~ [С4,1], [Ф, 1] ~ [61,04].
Тогда из [64, ф] —> [63, С2] следует, что непостоянными склеивающими эндоморфизмами решетки Я44 могут быть только отображения

Р1(®) =
<р2(х) = <
63, X — С2,
х, в противном случае,
с2, X = 63,
х, в противном случае.
Однако, оба эти отображения — гомоморфизмы, но не эндоморфизмы решетки /244, так как <£4/244 (г = 1,2) есть решетка, не являющаяся подрешеткой решетки Яи- Лемма доказана.