Бесконечные группы с сильно вложенной подгруппой

• Автор: Тарасов, Сергей Александрович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 63 с. : ил.

1 Определения. Используемые результаты

1.1. Группы Фробениуса

1.2. Сильная шюаимость

1.3. Дважды транзитивные группы

2 Характеризация группы Их 1^{Р)

2.1. Случай Л

2.2. Изучение частного случая

2.3. Доказательство периодичности

3 Характеризации группы Зг(С})

3.1. Предварительные леммы

3.2. Доказательство теоремы 3

3.3 Редукция к Z-группам
4 Характеризация группы Л х Зг((д)
4.1. Основные леммы
4 2 Завершение доказательства теоремы
Список литературы
Публикации автора по теме диссертации
Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Главы делятся на параграфы. Нумерация формул, определений, лемм, предложений, теорем сквозная в пределах каждой главы и имеет вид п.т, где п — номер текущей главы. Точные формулировки всех теорем приведены в начале глав. Все обозначения либо стандартны [5, 8], либо оговариваются
Напомним, что собственная подгруппа В группы С? называется сильно вложенной в С, если В содержит инволюцию и для любого <7 € (? В пересечение В П Вд не содержит инволюций. В теории конечных групп это понятие является фундаментальным и составляет один из наиболее важных инструментов теории простых групп ([5], стр. 26-27). Оно появилось в серии работ Д. Томпсона, посвященных классификации минимальных простых групп. Основополагающий результат о конечных группах с сильно вложенной подгруппой принадлежит М. Судзуки ([5], теорема 4.22). Заключительная классификация таких групп дана Г. Бендером [26]. Она тесно связана с теорией дважды транзитивных групп подстановок, в частности с группами Цассенхауза ^-группами), т.е. дважды транзитивных групп подстановок с тривиальным стабилизатором каждых трех точек.
В теории периодических и смешанных групп с инволюциями даже фрагменты подобной классификации служили бы мощным инструментом исследования. Но пока в этом направлении сделаны лишь первые шаги. Это объяснимо. Уже в классе периодических групп неверны многие результаты теории (локально) конечных групп ([1], [2], [3], [13], [14]). Не работают и методы их доказательств.

Первые исследования периодических групп с сильно вложенной подгруппой были выполнены В. П. Шунковым и А. Н. Измайловым [6], [7] при некоторых дополнительных условиях конечности. Весьма стимулирующим оказался вопрос 10.76 В. П. Шункова из Коуровской тетради [12]. Его суть. Группы 1/2(ф) и Зг((2), где ^-локально конечное поле характеристики 2, содержат сильно вложенную подгруппу Фробениуса В, совпадающую с нормализатором силовской 2-подгруппы. Рассмотрим теперь периодическую группу С с сильно вложенной подгруппой, изоморфной В. Будет ли группа С локально конечной? Если это так, то она изоморфна одной из групп Б2(С}). Положительный ответ на
этот вопрос получен А. И. Созутовым и Н. М. Сучковым[15], [16]. При этом вместо периодичности группы предполагалось наличие в ней конечной инволюции (инволюция г группы <7 называется конечной, если пп < оо для каждого д 6 (7).
В работе В. Д. Мазурова [И] изучены группы с конечной инволюцией, в которых централизатор каждой инволюции является абелевой 2-подгруппой, в частности, разобрана ситуация, когда в группе имеется сильно вложенная подгруппа Фробениуса, ядро которой абелева 2-подгруппа. Н. М. Сучковым [18] доказан периодический аналог теоремы М. Судзуки о строении конечной группы с абелевыми централизаторами инволюций. Основной анализ был связан с сильно вложимостыо.
Д. Горенстейн ([5],стр.157)отмечает, что ” теория дважды транзитивных групп подстановок представляет собой одну из наиболее глубоких и красивых глав теории конечных простых групп”. В свою очередь, ^-группы составляют важнейших подкласс класса дважды транзитивных групп. Конечные ^-группы полностью описаны X. Цассенхаузом, У. Фейтом, М. Судзуки и Н. Ито ([5],стр.378), что послужило, например, основой при изучении групп с абелевыми и диэдральными силовскими 2-

Поскольку 3 инвертирует Н3 (лемма 3.24), то к — к 2j. Следовательно, Вк = 1Р, что противоречит нашему предположению. Таким образом, Я;, Нк — различные дополнительные множители трупы Фробениуса В, а потому Н] П Нк = 1 и В П В3 П Вк = 1. Лемма доказана.
Как отмечалось в начале этого параграфа, лемма 3.26 завершает доказательство теоремы 3.2.
Результаты главы опубликованы в работе [38].