Свободные и разрешимые произведения алгебр Ли

• Автор: Агалаков, Сергей Астафьевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 72 c. : ил

ГЛАВА I. СВОБОДНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЛИНЕЙНО

УПОРЯДОЧИВАЕМЫХ АЛГЕБР ЛИ

§ I. Предварительные замечания

§ 2. Свободные произведения алгебр Ли с

центральными системами

§ 3. Свободные метабелевы произведения

(разрешимых ступени -^2) алгебр Ли с центральными системами

Глава II. БАЗЫ СВОБОДНЫХ РАЗРЕШИМЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ

(РАЗРЕШИМЫХ) АЛГЕБР ЛИ

§ I. Предварительные результаты

§ 2. Основная конструкция

§ 3. Основная теорема
§ 4. Центр свободного разрешимого
произведения алгебр Ли
ГЛАВА І. ФИНИТНАЯ ОТДЕЛИМОСТЬ В СВОБОДНЫХ
РАЗРЕШИМЫХ ГРУППАХ И АЛГЕБРАХ ЛИ
§ I. Финитная отделимость в свободных
разрешимых алгебрах Ли
§ 2. Финитная отделимость в свободных
разрешимых группах. .
§ 3. Финитная отделимость в свободных
ассоциативных алгебрах
§ 4. Свободные произведения сРА^у-алгебр Ли
ЛИТЕРАТУРА

Алгебры Ли появились в математике в конце XIX века в связи с изучением групп Ли, а в неявной форме несколько раньше в механике. С течением времени роль алгебр Ли возрастала пропорционально месту, занимаемому группами Ли в математике (особенно в геометрии), а также в классической и квантовой механике. В конце прошлого и первой трети нынешнего века была развита классическая теория алгебр Ли - мощное средство линеаризации теоретико-групповых задач. Основным объектом этой теории являются конечномерные алгебры Ли над полем характеристики нуль,в первую очередь - над полями комплексных чисел. Современное состояние классической теории изложено в монографиях [а] , [7] . Не останавливаясь на обзоре этих вопросов, отметим, что выдающийся вклад в их решение и развитие связанной с нею теории групп Ли внесли советские математики А.И.Мальцев, Л.С.Понтрягин, И.Д. Адо, Ф.Р. Гантмахер,
В.В.Морозов и другие.
Изучение отдельных видов бесконечномерных алгебр Ли началось одновременно с изучением конечномерных. Такие алгебры Ли естественно возникают при классификации примитивных псевдогрупп преобразований, предпринятой в 1909 году Э.Картаном [Зб] .Важные примеры бесконечномерных алгебр Ли появились в последнее время также в теории уравнений математической физики (например, для уравнения Кортевега - де Фриса) и в формальном вариационном исчислении (см. [9] ).
Таким образом, развитие различных областей математики привело к созданию абстрактной теории бесконечномерных алгебр Ли. Первые крупные результаты в этом направлении получены в конце 30-х годов нашего века Биркгофом и Виттом (теорема о вложении алгебр Ли в ассоциативные алгебры) и Магнусом (изучение связи
свободных групп и свободных алгебр Ли). Большим достижением в данной теории явились работы А.И.Кострикина (см. [14] ) по проблеме Энгеля для алгебр Ли, которые получили непосредственное приложение к решению ограниченной проблемы Бернсайда для групп простой экспоненты.
В 50-е годы исследования по бесконечномерным алгебрам Ли были продолжены А.И.Ширшовым: в цикле работ [27 , 28, 29 , Зі] получены глубокие результаты о свободных алгебрах Ли и свободных произведениях алгебр Ли. Разработанные А.И.Ширшовым методы и полученные с их помощью результаты стали основой для построения теории алгебр Ли, близких к свободным. Дальнейшее развитие они получили в работах Л.А.Бокутя [2] и Г.П.Кукина [17 , 18] . Кроме того, ряд важных приложений теории алгебр Ли и ее методов в теории групп нашли А.Л.Шмелькин [33] и Ю.М.Горчаков [5 , б] . А.И.Ширшов привлек внимание алгебраистов и к алгоритмическим проблемам теории алгебр Ли. В статье [30] он развил метод композиции, который позволил ему решить проблему равенства для алгебр Ли с одним соотношением и алгебр Ли с однородным множеством определяющих соотношений. В работе [32]
А.И.Ширшов установил также разрешимость проблемы равенства для метабелевых алгебр Ли. В связи с этими работами возникли проблемы А.И.Ширшова о неразрешимости проблемы равенства в многообразиях всех алгебр Ли и разрешимых ступени 1г^3 алгебр Ли. Первая из этих проблем решена Л.А.Бокутем '[3] , вторая
Г.П.Кукиным [19] .
В последние десять лет развивается теория упорядоченных алгебр Ли,начатая В.М.Клпытовым [13] . Напомним, что упорядоченная алгебра Ли <[ Ь , + , *; ^V над упорядоченным полем ^ есть упорядоченное векторное пространство <( + ; , удовлетворяющее дополнительному условию: если 0_ ^ % ,то С1 + О.ос£
^50 л
В подалгебре £> выделим ее идеал В),порожденный всеми
элементами вида (3.2), (3.3), (3.4), (3.5).

ЛЕММА 3.2. Любой элемент абелевой алгебры Ли В есть линейная комбинация элементов следующих типов:
, (3.6)
+ (з.7)
, (3.8)
С^ЗС^Ы^^сц , (зло)
где В>/0 3 5
всД 6 - • 4 Ь . ■ .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По лемме 3.1. ^ у , ' е»'<^°Т "
база алгебры Ли В по модулю второго коммутанта алгебры Ь

Поэтому любой элемент идеала В есть линейная комбинация слов вида
5оЦ * ‘ ' ^уи. , е^>/°; (3.11)
где су -элемент серии (3.2) - (3.5), ^ (э^-Ь^к |
2>сЦ ■— ' ^ °Суу| <
Пусть су, -элемент серии (3.4), (3.5). При действии на су элементом у мы получаем элементы вида (3.4), (3.5). Следовательно, слово (3.11) записывается в виде линейной комбинации элементов серии (3.9), (3.10).
Если су -элемент вида (3.3), то при t-0 из (3.11) мы
получаем слова вида (3.8), а при €>/1 -линейную комбинацию слов (3.7) со словами серии (3.9), (3.10).
Если же су -элемент вида (3.2), то слово (3.11) записывается в виде линейной комбинации слов вида (З.б) и элементов серии (3.9), (3.10). Лемма доказана.
ЗАМЕЧАНИЕ 3.1. Элементы вида Сс^ЪЫл • • • ,где
(Ц. (: ^ Ьу1,И>,оУ , 5сЦ^ * • • * ^ линейно не-