Примитивные элементы алгебр шрайеровых многообразий

• Автор: Чеповский, Александр Андреевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 65 с.

Содержание
1 Введение
1.1 Шрайеровы многообразия алгебр
1.2 Цель работы
1.3 Научная новизна
1.4 Основные методы исследования
1.5 Теоретическая и практическая ценность работы
1.6 Апробация работы
1.7 Публикации
1.8 Структура и объем диссертации
1.9 Краткое содержание работы
1.10 Благодарности
2 Системы примитивных элементов
2.1 Основные определения
2.2 Однородный случай
2.3 Общий случай
3 Реализация алгоритмов проверки примитивности, реализа-
ции ранга и поиска дополнения к примитивной системе элементов в свободной неассоциативной, свободной неассоциативной (анти)коммутативной алгебрах и примеры применения
3.1 Техническое описание алгоритмов проверки примитивности, реализации ранга и дополнения примитивной системы
3.2 Описание алгоритма проверки примитивности элемента
3.3 Описание вспомогательного алгоритма для однородного элемента

3.4 Описание алгоритма дополнения примитивной системы
3.5 Примеры применения алгоритма распознавания примитивности
3.6 Примеры применения алгоритма дополнения примитивной системы
4 Подсчет числа примитивных элементов свободных неассоциативных алгебр над конечным полем
4.1 Случаи длины 1 и
4.2 Случай длины
4.3 Оценка через автоморфизмы
Заключение
Список литературы

1 Введение
1.1 Шрайеровы многообразия алгебр
Многообразие линейных алгебр над полем определяется как класс алгебр, замкнутых относительно взятия подалгебр, гомоморфных образов и прямых произведений. Многообразие алгебр называется шрайеровым, если любая подалгебра свободной алгебры этого многообразия является свободной (в том же многообразии алгебр). Понятие шрайерова многообразия возникло в теории групп: в 1920 - х годах Нильсен [29] и Шрайер [30] доказали, что любая подгруппа свободной группы свободна. А. Г. Курош [8] доказал, что подалгебры свободных неассоциативных алгебр свободны. А. И. Ширшов [14] показал, что многообразие всех алгебр Ли является шрайеровым (этот результат был получен и Виттом в [32], где также было доказано, что многообразие всех р— алгебр Ли является шрайеровым).
А. И. Ширшов в [15] показал, что подалгебры свободных неассоциативных коммутативных и свободных неассоциативных антикоммутативных алгебр свободны. Таким образом, многообразие всех коммутативных алгебр (всех антикоммутативных алгебр) является шрайеровым. А. А. Михалёв [9] и А. С. Штерн [16] показали, что многообразие супералгебр Ли является' шрайеровым. А. А. Михалёв [10] получил этот результат для цветных/;— супералгебр Ли. А. И. Корепанов [7] доказал, что подалгебры свободных су-перкоммутативных неассоциативных алгебр свободны. В. К. Харченко [22] получил обобщение теоремы Ширшова - Витта о подалгебрах свободных алгебр Ли для алгебр Хопфа над полем нулевой характеристики с косым копроизведением. У. У. Умирбаев и И. П. Шестаков [31] доказали, что подалгебры свободных алгебр Акивиса свободны.
У. У. Умирбаев в [11, 33] получил необходимые и достаточные условия для того, чтобы многообразие алгебр было шрайеровым, и построил новые

Аналогично продолжая с элементами /г.2: ...кГ: получаем такой автоморфизм 1ф алгебры А, что ф{к{) = %1, ,Ф(ЬГ) = хг.
Множество {ф 1 (/г.г+1)
Алгоритм
Вход:
Выход:
Множество свободных образующих X — {хт, ...хп} и примитивная система элементов {к]
Множество элементов {Лт+ъ > п} таких, ЧТО {Н)
Шаг 1:
Шаг 2:

Шаг 6:
Положить /] = к, -../г = к,т.
Задать ф равным тождественному автоморфизму йI алгебры А.
Положить к = 1.
Если к > г, то перейти к шагу 14.
Положить и>(хф = для всех г — 1, ...п.
Если /к = Хк, то увеличить А: на 1 и перейти к шагу 4.