О свойстве магнуса и конечных подгруппах гиперболических групп

• Автор: Свиридов, Константин Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 58 с.

Введение
В 1930 г. В. Магнус опубликовал статью [26], имеющую большое значение для комбинаторной теории групп и логики, в которой доказал т.н. Freiheitssatz (теорему о свободе)-.
Теорема 1. Пусть G - факторгруппа свободной группы со свободными порождающими х,...,хп, где п ^ 2, по
нормальному залшканию циклически приведённого слова г, имеющего нетривиальное вхождение xfl. Тогда подгруппа F группы G, порождённая образами Х2, ■. •, хп, является свободной группой ранга п — 1.
В контексте теоремы о свободе F называется подгруппой Магнуса. В [26] также доказана тесно связанная с торемой о свободе
Теорема 2. Пусть F - свободная группа, и г, s Е F. Если нормальные замыкания rus совпадают, то г сопряжен с s или s“1.
Будем говорить, что группа G обладает свойством Магнуса, если для каждых двух элементов г. s G G с совпадающими нормальными замыканиями верно, что г сопряжен с s или s~l.
К числу первых обобщений результатов Магнуса относится работа М. Гриндлингера [17], в которой доказано, что если два подмножества U и V счётной свободной группы обладают совпадающими нормальными замыканиями и удовлетворяют некоторым метрическим условиям малых сокращений, то существует такая биекция ср : U —» V, что г сопряжен с <р(г) или <д(г)-1 для кажого г Е U. Этот результат был обощен Е. В. Кашинцевым в [3, 4] и М. Паласинским в [27].
С.Д. Бродский поставил вопрос, над какими группами, помимо свободных, разрешимо каждое уравнение1. В работе [2] он сформулировал утверждение о том, что к числу этих групп принадлежат локально индикабельные группы. Из этого утверждения следует теорема о свободе для локально индикабельных групп: любые локально индикабельные группы А и В естественно вкладываются в А * В/({г}), где г - элемент А* В, который не сопрягается внутрь А или В, и {(г)) - его нормальное замыкание в А * В. Дж. Хоун попытался получить аналог теоремы 2 для локально индикабельных
Дусть G — некоторая группа, Хп - свободная группа ранга п и F = G * Хп - свободное произведение групп G и Хп. Пусть, далее, w - элемент группы F, не сопряженный ни с каким элементом из G. Говорят, что уравнение w = 1 разрешимо над группой G, если существует гомоморфизм группы F и некоторую группу , действующий тождественно на G и переводящий w в единицу.

групп , что получилось у него с некоторыми ограничениями (см. [20], теорема 14). М. Эджевет получил в [15] более полный результат, который формулируется следующим образом. Пусть С? = А * В, где А и В - локально индикабельные группы. Если г, в £ 67 - циклически приведённые слова длины не менее 2 с совпадающими нормальными замыканиями, то г сопряжено с й или з“1.
В [9] О. Богопольский, Е. Кудрявцева и X. Цишанг сделали первые шаги по исследованию фундаментальных групп замкнутых поверхностей на предмет обладания свойством Магнуса. Был доказан следующий факт. Пусть 5 - замкнутая поверхность, и г, 5 - два элемента её фундаментальной группы , каждый из которых может быть представлен простой двусторонней петлёй2 и которые обладают совпадающими нормальными замыканиями. Тогда г сопряжён с
Я ИЛИ 5'1.
Богопольский получил в [8] более полный результат: он доказал, что фундаментальные группы замкнутых ориентируемых поверхностей обладают свойством Магнуса. Кроме того, в [8] получены следующие результаты:
(1) Построена бесконечная серия гиперболических групп без кручения, не обладающих свойством Магнуса.
(2) Все бесконечные группы с одним соотношением и кручением не обладают свойством Магнуса.
Поиском аналогов подгрупп Магнуса для фундаментальных групп замкнутых ориентируемых поверхностей занимался Хоуи. На замкнутой ориентируемой поверхности 5 он рассматривал пару петель, а и /?, где (3 - простая петля. Затем он исследовал, при каких условиях вложение Е ь-> 67/]Г(а) является инъективным, где б? = яд (5), Ы(а) - нормальное замыкание элемента а в группе 67, а Е - фундаментальная группа компоненты связности БД Заметим, что в зависимости от того, разбивает (3 поверхность Е или нет, количество таких компонент связности равно двум или одному.
В [21] доказано, что это вложение инъективио, если (3 разбивает 5 и а не сопряжена в 67 с петлёй, целиком лежащей в одной из компонент связности Е/3. Для случая неразбивающей кривой (3 доказано, что достаточно потребовать, чтобы а и /5 не были гомотопны

Простая петля называется двусторонней, если существует вещественное число д > 0, такое что (5-окрестность этой петли гомеоморфна цилиндру.

непересекающимся петлям, и чтобы их индекс пересечения равнялся нулю.
В этой же работе [21] Хоуи сделал утверждение, что условие равенства нулю индекса пересечения можно отбросить. Однако, это утверждение ошибочно, о чём Хоуи сообщает в [22], приводя контрпример. Тем не менее, в [22] удалось ослабить условия для случая неразбивающей петли /?: достаточно потребовать, чтобы а и (3 не были гомотопны петлям, которые пересекаются менее двух раз.
В [23] подход к изучению фундаментальных групп замкнутых ориентируемых поверхностей распространён на предельные группы.
А. Л. Шмелькин показал в [6], что свободные метабелевы группы ранга не менее 2, а так же ограниченные сплетения свободных абелевых групп не обладают свойством Магнуса. Тем не менее, он указывает условия, не являющиеся, впрочем, необходимыми, при которых из совпадения нормальных замыканий двух элементов свободной метабелевой группы следует их сопряжённость ( [6], теорема 2 ). К. Свиридов приводит алгоритм распознавания равенства нормальных замыканий элементов свободных метабелевых групп и ограниченных сплетений свободных абелевых групп. М. Эвансу принадлежит следующий результат о нормальных замыканиях элементов свободных метабелевых групп: в [16] он показывает, что если нормальному замыканию элемента д принадлежит примитивный элемент к то д сопряжён с к±г. В [5] Е.И. Тимошенко показал, что результат Эванса не справедлив для групп многообразия
Результат первой части диссертации опубликован в совместной статье с Богопольским [37]. Этим результатом является теорема
1.1.1 и её важное следствие, касающееся фундаментальных групп неориентируемых поверхностей - предложение 1.1.2.
Замечание 3.
(1) Затронем логические аспекты свойства Магнуса. В [8] было показано, что если 0, б?2 - две элементарно эквивалентные группы и (Зп обладает свойством Магнуса, то им обладает и группа Сг.
(2) Пусть 5 - замкнутая поверхность рода д, где д ^ 2, если 5 ориентируемая и д ^ 4, если £> неориентируемая. В [29] Зела сформулировал утверждение, что фундаментальная группа поверхности 5 элементарно эквивалентна свободной неабелевой

а значит, множество {(i,j) G Z+ : ghg] ^ г} бесконечно. В силу того, что шар Br( 1) содержит конечное число элементов и порядки элементов gi,(j2 бесконечны, существует бесконечное множество I С Z^{(0,0)}, такое что д^кдД = дг{~кд322 для всех (гь Д), (г2, ji) 6 /• Остаётся заметить, что найдутся две пары (ii, ji), (ггОг) € /, такие что i> i2, j'i > j2- Тогда выполняется g^^hgj-32 = к. □
Соглашение 2.3.10. Пусть £71, <72 и к - элементы группы С, причём огс!( УГ, заданное по пхоавилу:
{Р91(к) при к < 0 ,
Рк{к) при к е {0,1} ,
к ■ Рд2(к — 1) при к > 1 .
Заметим, что -Р51(0) = РД0) и РД 1) = к ■ Рд2( 1 - 1). Через РДдъд2)
обозначим отображение Z —> УГ, заданное по правилу:
Pi(gi,92){k) =
Заметим, что Р51(0) = Рд.Д0).
при к < 0 , при к > 0 .
Лемма 2.3.11. Предположим, что (71,(72 и к - такие элементы группы С, что огс1((?1) — оо, огсЦуг) — оо и дкд Д к для всех (г,у) С 2+{(0,0)}. Тогда отображение ТЦурУг) является квазигеодезическим.
Доказательство. Рассмотрим только случай к Д 1. В случае к = 1 рассуждения проводятся аналогично. Обозначим через Л и с максимумы из соответствующих констант квазигсодезичности отображений Рд1 и Рд2. Тогда оба отображения Рд1 и Рд2 являются (Л, с)-квазигеодезическими, и таковыми же являются сужения отображения РДдх-.д^) на Ж- и Ж+{0}. Таким образом, остаётся рассмотреть только случай к € Ъ- и в € й+{0}.
В силу леммы 2.3.9, квазилучи Рдх |^_ и к - Рд2 |й+ не эквивалентны, и из леммы 2.2.18 следует, что существует такое число с' ^ с, что
^(5 -к) -С1 < ДРд1(к),к-РдДз)) ^ А($ — к) + с'