Верхние оценки рациональных тригонометрических сумм специального вида и их приложения

• Автор: Васильев, Антон Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 44 с. : ил.

Оглавление
Введение
Г лава 1. Верхние оценки полных рациональных полиномиальных тригонометрических сумм
Глава 2. Оценка среднего квадратического модулей рациональных тригонометрических сумм по обобщенным числам Фибоначчи
Глава 3. Арифметические приложения
Заключение
Список литературы
Введение
Актуальность темы
Область исследования диссертации относится к разделу теории чисел, занимающемуся оценками тригонометрических сумм. В работе доказываются верхние оценки рациональных тригонометрических сумм специального вида и их арифметические приложения.
Тригонометрической суммой называется сумма вида
где |Х| - количество элементов X.
Но интерес представляют только такие верхние оценки, в которых присутствует понижающий множитель, то есть оценки вида
где f■.X Ъ - функция, а ц - натуральное число.
Тригонометрические суммы впервые появились в работах К. Гаусса. В дальнейшем ими занимались Г. Вейль, Г. Харди и Д. Литтлвуд, Л. Морделл и многие другие.
После работ И. М. Виноградова [6], посвященных решению проблем Варинга и Гольдбаха, в которых был значительно развит и усовершенствован аппарат тригонометрических сумм, интерес к этой тематике многократно возрос. В частности, появилось много работ и о рациональных тригонометрических суммах.
№Р)| < |Х|-б,
где 0 < 5 < 1 - понижающий множитель.
Рациональной тригонометрической суммой называется сумма вида
Полной рациональной тригонометрической суммой называется сумма вида

*(м) = У

где /: {1,2, Ъ - функция.
Важным частным случаем являются полные рациональные полиномиальные тригонометрические суммы (частный случай сумм Г.Вейля), когда в показателе экспоненты стоит многочлен с целыми коэффициентами.
Хуа Ло Кен доказал следующий результат [17, 20]:
для любого натурального ц и любого многочлена /(х) = ахх + а2х2 + —Ь апхп, у которого (а!,а2, ...,ап,с]') = 1, причем постоянная в знаке О зависит только от п.
В 1948 году А. Вейль [25] получил оценку для сумм с простым знаменателем, в этом специальном случае значительно улучшающую оценку Хуа Ло Кена. Он доказал, что
для любого простого р и любого многочлена /(х) = агх + а2х2 + —Ь апхп, у которого (ап,р) = 1.
Этот результат, простой и удобный в применении, не дает, тем не менее, нетривиальной оценки в большом числе случаев, а именно, при п > ^р 4- 1. Поэтому было бы полезным получить оценки в случае «больших» п. Однако, как правило, получить оценку для общего случая «больших» п не удается, а улучшение оценки А. Вейля производится только на некоторых классах многочленов.
Выделим две такие работы.
В 1965 году Н. М. Акулиничев доказал [1] следующую оценку для двучленов:
|5(/,р)| < (п- 1)7р
|5(/,р)| = £*=1е р <рб-1/2,
где /(х) — ах + Ьхп - многочлен с целыми коэффициентами, у которого (а, р) = (Ь, р) = 1 и 1 < п < р, р - простое, а <5 = (п, р - 1).

где |б| < 1.
Теорема 10. Пусть р > 3 - простое число,
/(%) = агх + а2х2 + —I- акхк

д(х) = ЪххПг + —I- btxUt
- такие многочлены с целыми коэффициентами, что р — 1 >пг > к и (р — 1 ,nr,k) = 1 при всех 1 < г < t, (ak,p) = 1, а Sr — (р — 1 ,пг) при всех 1 < г < t. Тогда
N(/ + д,р,Т) — Т + в (б/ + V + - + + (^)~)Р1пР’
где |0| < 1.
Теорема 11. Пусть р > 3 - простое число, а, п - натуральные числа, причем
— -нечетное целое и (a,p) = 1,/(х) — ахп.
Тогда
yV(/,p,7) = r + 0^~2p/np,
где |0| < 1.

В 1934 году Н.П. Романов доказал [16], что сумма множества простых чисел и множества натуральных степеней фиксированного целого числа а > 2 образует множество положительной плотности (в смысле плотности по Шнирельману), иными словами,
card{n:n < х,п = р + am}^ > 0 (через cardX обозначено количество элементов множества X).