Абсолютные идеалы абелевых групп

• Автор: Фам Тхи Тху Тхюи
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 90 с.

Оглавление
Введение

Список обозначений

Глава 1. Абсолютные идеалы абелевых периодических групп

§ 1. Предварительные сведения

§ 2. Главные абсолютные идеалы периодических групп

§ 3. Периодические ДА/-группы

§ 4. Периодические а/г-группы

Глава 2. Абсолютные идеалы смешанных групп из класса К

§ 5. Главные абсолютные идеалы групп из класса К

§ 6. ДА/-группы из класса К

§ 7. а/г-группы из класса К
Глава 3. Абсолютные идеалы смешанных групп из класса Ь
§ 8. Главные абсолютные идеалы смешанных групп ранга без кручения 1 из класса Ь
§ 9. ДА/-группы ранга без кручения 1 из класса Ь
§ 10. а/г-группы ранга без кручения 1 из класса Ь
Литература

Введение
Актуальность темы исследования. Одним из направлений современной теории абелевых групп является изучение абелевой группы как аддитивной группы кольца. Под умножением на абелевой группе О понимается любой гомоморфизм ц : Є ® О —» (7. Абелева группа С с заданным на ней умножением называется кольцом на группе Є. Проблема определения кольцевых структур на абелевой группе была поставлена Р. Быомонтом [12], который рассматривал кольца на прямых суммах циклических групп. Изучение свойств колец на периодических абелевых группах было проведено в работах Л. Фукса, Т. Селе и др. [22, 23, 24, 44]. Л. Фуксом [23] была выявлена фундаментальная роль базисных подгрупп, которая и определила дальнейшие успехи в исследовании кольцевых структур на периодических группах. Кольца на смешанных абелевых группах и группах без кручения изучались в работах Р. Быомонта и Р. Пирса, Л. Фукса, Е. Компанцевой, С. Фейгель-стока и др. [3, 4, 10, 13, 14, 17]. Однако ограниченность наших сведений о строении групп без кручения не дает возможности получить полное описание колец на них. Ясно, что тесная связь между аддитивной и мультипликативной структурами существует, только если строение аддитивной группы достаточно сложно. Однако следует помнить, что даже если аддитивная группа легко описывается, возникает ряд весьма интересных вопросов.
Настоящая диссертация посвящена изучению проблем, связанных с абсолютными идеалами абелевых групп. Под абсолютным идеалом абелевой груп-

пы G понимается ее подгруппа, которая является идеалом в любом кольце на G. Изучению абсолютных идеалов абелевых групп посвящены работы JI. Фукса, А. Чехлова, Е. Фрида, К. МакЛина [10, 11, 19, 20, 21, 37]. В [19] Е. Фрид изучал общие свойства абсолютных идеалов. Для этого он определил группу М(б'), порожденную всеми гомомофными образами группы G в свою группу эндоморфизмов End G, и показал, что подгруппа А абелевой группы G является ее абсолютным идеалом, если, и только если А является М(С)-допустимой, то есть M(G’)(A) С А. Результаты данной статьи затем были обобщены в [20] для модулей над коммутативным кольцом R с единицей. Подмодуль N двухстороннего модуля М над кольцом R называется его Д-преидеалом, если N является идеалом в любой Д-алгебре над М. В [20] получены результаты для преидеалов А-модулей, аналогичные результатам в [19] для абсолютных идеалов абелевых групп. В [35] К. МакЛин показал, что любой абсолютный идеал абелевой р-группы G имеет вид G = Н П {д G G | рпд & S'}, где Н - вполне характеристическая подгруппа группы G, S - подгруппа группы G1 и п - целое число. В [11] А. Чехлов описал абелевы группы, все подгруппы которых являются абсолютными идеалами. Доказано, что класс таких групп состоит из периодических групп, каждая p-компонента которых является циклической или делимой группой, нильгрупп без кручения, а также циклических групп бесконечного порядка. Е. Компанцевой [5] были описаны подгруппы, являющиеся абсолютными ниль-идеалами и абсолютными нильпотентными идеалами в любой смешанной редуцированной абелевой группе.
В монографии JI. Фукса «Бесконечные абелевы группы» [10], являющейся своего рода энциклопедией по теории абелевых групп, сформулирована проблема (проблема 93) описания абелевых групп, допускающих кольцевую структуру, в которой любой идеал является абсолютным. Такие группы бу-

§3. Периодические ЯЛ/-группы
Лемма 3.1. Пусть G - р-группа и В - ее базисная подгруппа. Тогда G[pn] = (G/B)[pn] ® Врп] для любого натурального числа п.
Доказательство. Докажем, что Врп] серваитна в группе Gpn. Пусть g £ G[pn], 0 ф pkg £ В[рп]. Так как подгруппа В сервантна в G, то существует
элемент b £ В такой, что pkb = pkg. Так как pkg ф 0, то к < п. Тогда
pnb = pn~k(pkb) = рп~к(ркд) = рпд = 0. Следовательно, Ъ £ Врп. Значит, подгруппа Врп] сервантна в группе Gpn}. Так как В[рп] ограничена, то по [10, теорема 27.5] В[рп] выделяется прямым слагаемым в G[pn], то есть
G[pn] = Врп] 0 G[pn]/B[pn} = Врп} ф Gpn]/Bpn] (1.26)
Рассмотрим гомоморфизм р : Gpn] —> (G/B)[pn], при котором р(д) = д + В. Легко видеть, что Kerip = В[рп]. Докажем, что Imp = (G/В)[рп]. Пусть д + В € {G/В)[рп]. Тогда рпд € В. Так как В сервантна в группе G, то существует элемент b € В такой, что рпЬ = рпд. Тогда рп(д — Ъ) = 0. Пусть а = д — Ь, тогда а £ Gpn] и р(а) — а + В — д + В. Следовательно, Imp = (G/B)pn]. Таким образом,
Gpn]/Bpn] = 0G/B)pn]. (1.27)
Из (1.26) и (1.27) следует, что Gpn] = Врп] 0 (G/B)pn]
Согласно [10] рангом р-группы G называется мощность ее максимальной линейно независимой системы и обозначается через r{G).
СЛЕДСТВИЕ 3.2. Пусть G - р-группа и В - ее базисная подгруппа, В
00 оо
0 0(pfc)- Пусть п G N. Тогда r(pn_1(G[pn])) = rcifc + r(G/B).
к—1 m к k—n
Доказательство. Из леммы 3.1 следует, чтоpn~l(Gpn]) = pn~l(Bj)n])(B

pn~l{{G/В)[рп]). Нетрудно видеть, что г(рп~1(В[рп])) = J2 т. Так как G/B