Структурные описания и связи нильпотентных матричных групп и ассоциированных с ними колец

• Автор: Сулейманова, Галина Сафиуллановна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 60 с.

Содержание
Введение

Наиболее употребительные обозначения и термины

Глава 1. Нормальное строение присоединенной группы радикального кольца Д„(Л',./) и идеалы ассоциированного кольца Ли

1.1. Т-границы и идеалы кольца Кп(К,,})

1.2. Лиевы и нормальные Г-границы кольца Я„(К,,})

1.3. Теорема об идеалах ассоциированного кольца Ли

1.4. Нормальные подгруппы присоединенной группы

Глава 2. Нормальное строение унипотентной подгруппы унитарной и ортогональной групп над полем

2.1. Представление групп 1Ю(К) классических типов

2.2. Случай ортогональных групп

2.3. Случай унитарных групп
Список литературы

Введение
Через Н„(К, У) далее обозначается кольцо всех п х п-матриц и коэффициентами из ассоциативного кольца К с единицей с элементами из его идеала У на и над главной диагональю. При У = О это есть кольцо ЛТТ„(К) (нижних) нильтреугольных матриц; как известно, его присоединенная группа (относительно присоединенного умножения а о Ъ = а + 6 + об) изоморфна унитреугольной группе иТп(К).
Диссертация состоит из двух глав, разбитых на 7 параграфов. В главе 1 взаимосвязанно исследуются вопросы описания нормальных подгрупп присоединенной группы радикального кольца У?„(А', У) и идеалов ассоциированных колец. Структурные соответствия различных алгебраических систем, как правило, приводят к эффективным методам описания. В параграфе 1.1 приводятся некоторые известные и вспомогательные понятия и результаты. Вторая глава посвящена аналогичным вопросам для унипотентных подгрупп групп Шевалле.
Вопросы описания различных классов нормальных подгрупп унитреугольной группы над полем рассматривали А. Уир [18] (максимальные абелевы нормальные подгруппы), С. Д. Берман [1, 2], В.М. Лев-чук [5] и др. Идеалы алгебры ЫТп(К) над полем К описали на языке матричных лестниц Дюбиш и Перлис [15] в 1951 году. Идеалы кольца МТп(К) для случая тела К допускают аналогичное описание, как выявилось в [5]. В. М. Левчук и Ф. Кузучуоглу [16] разработали в 2000 году метод описания идеалов кольца Д„(А', У) в более общей ситуации, когда кольцо коэффициентов К коммутативно, а его идеал У - сильно максимален. Они показали, что любой идеал такого кольца Ип(К. У) порождается подходящей Г-границей (см. §1.1), которые охарактеризованы, как определенные подмножества кольца Нп[К. У). Идеалы ассоциированного кольца Ли образуют существенно более широкий класс. Естественно возникает задача
(А) перенести на лиевы идеалы кольца Н„{К. У) с сильно максимальным идеалом У метод построения (ассоциативных) идеалов, основанный на Т-границах.
Ее решению посвящены параграфы 1.2 и 1.3 главы 1. В §1.2 вводятся лиевы Г-границы (определение 1.2.1). Основная в §1.3 теорема 1 устанавливает описание лиевых идеалов кольца IIп(К. У) при условии, когда идеал У сильно максимален и для любого идеала I С У кольца К выполняется равенство 21 = I. Примерами сильно мак-
симальных идеалов являются максимальные идеалы в кольцах Z, Zm (т > 0)[16] и, более общо, в области целостности главных идеалов, см. §1.1, Частным случаем теоремы 1 при .7 = 0 являются теорема 9 [15] и теорема 2 [5] о лиевых идеалах кольца 1УТ„(А') над полем К.
Напомним, что ассоциативное кольцо называют радикальным, если присоединенное умножение в нем является групповой операцией. Конечно, поиски аналога теоремы 1 для описания нормальных подгрупп присоединенной группы кольца В.п(К, .7) целесообразны лишь, когда кольцо 7?„(7с', 7) радикально, это условие равносильно квазирегулярности идеала 7. На алгебраическом семинаре МГУ и на семинаре ’’Алгебра и логика” (г. Новосибирск) в 1999 - 2000 гг. В.М. Левчук сформулировал следующую задачу
(Б) исследовать гипотезу о существовании алгоритма построения нормальных подгрупп присоединенной группы радикального кольца Я„(К, 7) из его лиевых идеалов.
В 1976 году он доказал [5], что нормальные подгруппы присоединенной группы кольца МТп(К) - это, в точности, идеалы ассоциированного кольца Ли (полное их описание было дано, когда К - тело). Указанное структурное соответствие не переносится на кольца И„(К, 7), как выявилось в [16]. Вопрос о характеризации радикальных колец с таким соответствием записан в [4], вопрос 10.19. Построенный в §1.2 пример 1.2.2 показывает, что для колец Я„(К, 7) (п > 2) случай 7 = 0 (с коммутативным кольцом К) является единственным, когда указанное структурное соответствие выполняется.
В §1.2 вводятся нормальные Г-границы (определение 1.2.3). Теорема 2 описывает нормальные подгруппы присоединенной группы кольца А„(7, .7); по существу, она дает алгоритм их получения из лиевых идеалов.
Пусть 0®(7Г) - унипотентная подгруппа группы Шевалле (обычной или скрученной) типа О над К. Известно, что для типа в = .4„_1 она изоморфна присоединенной группе кольца ЛТГ„(А'), так что описание ее нормального строения содержится в [5]. Нормальное строение для некоторых других типов исследовалось в [11], [17], [12]. В главе 2 исследуется задача
(В) завершить описание нормального строения унипотентных подгрупп ив(К) групп Шевалле над полем К для оставшихся классических типов.

переносится и на случай нормальной подгруппы Я присоединенной группы. Когда .7 - сильно максимальный идеал, легко переносится и лемма 1.3.5 вместе с доказательством.
Лемма 1.4.7 Пусть С = С(Н), С = С'(Н) и Т = НпХ. Тогда' С,С есть множество углов степени п и, если С(Н) ф {(я, 1)}, то Т - идеал кольца К. Если .7 - сильно максимальный идеал кольца К, то при (к,т) £ U С, к ф т, имеем либо (к,т) У С и Щт = Т, либо
(к,пг) У С, (к,т) ф- С и Щт = JT, либо (к,т) / С и Щт = -J2T.
Лемма 1.4.8. Пусть F - идеал кольца К, а = ||osi|| Е Я и Н Э Pkm(F), к ф т. Тогда найдется матрица f) = ||6S(|| Е Н такая, что det(/7 4- е) = det(a + е) и
а) Ът = а„ при и < к, и Ь„„ = аш mod JF при и> к, v > т;
б) если (и, v) У (к, т) и auv ф F, то bm = auv mod JF;
в) если (u,v) У (к,т) и аис Е F, то Ът = 0 mod JF, исключая, быть может, фиксированную (произвольно) позицию (7,7) с условием к < 7 < т.
Доказательство. Покажем, что требуемую матрицу 0 можно найти, умножая матрицу а Е Я на элементарные матрицы из Ptm(F). Вначале преобразуем в а коэффициенты а„ при (и, v) У (к,т), и фу. Произведение
имеет (и,д)-проекцию т(1 + а„„) + аи„. Поэтому при а„„ 6 Я существует х Е Я, при котором произведение лежит в Я, а его (щ,ц)-проекция равна нулю. Ясно, что определитель матрицы а+е не изменился. Элементы матрицы а, расположенные выше и-й строки не изменились, а расположенные правее г-го столбца - не изменились по модулю .7Я. Аналогично умножаем а на элементарные матрицы хет при аи„ Е Я и и > к последовательно для у = т, т — 1,..., 1. Получаем матрицу, у которой все элементы удовлетворяют условиям леммы, исключая, быть может, элементы на позициях (7,7), к < 7 < т.
Зафиксируем указанное 7 при к <т и пусть а„ Е.Р, к < у < т. у ф 7. Положим х = а'„„. Тогда матрица
Я Э x'ett о хе.ш о а = /с.; + xevv + а + х‘ ' ]Г eyey +3-Y.