Расстояние между соседними нулями дзета-функции Римана, лежащими на критической прямой

• Автор: Хайруллоев, Шамсулло Амруллоевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 66 с.

Оглавление
Обозначения
Введение
1 Расстояние между соседними нулями дзета-функции Римана, лежащими на критической прямой
1.1 Вспомогательные леммы
1.2 Основная лемма
1.3 Основная теорема
1.4 Оптимизация экспоненциальных пар
2 Расстояние между соседними нулями
функции 5Ф) (£), і >
2.1 Вспомогательные леммы
2.2 Основная теорема
Литература

Обозначения
e(ct) — е2та.
||а|| — тт({а}, 1 — {а}) - расстояние от а до ближайшего целого числа. Г(я)- Гамма функция Эйлера, которая определяется равенством
с, Сі, С2, ,-положительные постоянные, не всегда одни и те же; є,єі, -положительные сколь угодно малые постоянные. ехр(г<р) = cos ip + г sin ср.
[а]-целый часть а - наибольшее целое число, не превосходящее а,
{а} = а — [а- дробная часть а.
Inх = log х-натуральный логарифм х.
Запись Л «С В обозначает, что существует с > 0 такое, что А < сВ. При ссылках теоремы, леммы и формулы нумеруются тремя индексами: номер главы, номер параграфа, номер утверждения.
Для действительных положительных функций / и <р запись / X ip означает, что существуют положительные с и С2 такие, что сі/ < <р <
Во всех утверждениях, касающихся -функций ((s), s = а + it. Если s имеет какие либо индексы, то такие же индексы имеют <т и t, Res = а,
7-постоянная (константа) Эйлера,
с2/-
Ims — t.
Введение
Одним из главных направлений исследований в теории дзета-функции Римана является изучение распределения нулей C(s)> лежащих на критической прямой.
Пусть s = а + it комплексное число. При Res > 1 дзета-функция Римана С (я) задается рядом

Следовательно, £(s) является аналитической функцией при Res > 1. Имеет место тождество Эйлера:
C(s) = n(1-4) - Res>l, (2)
р ' Р
где справа стоит бесконечное произведение по всем простым числам р. При вещественных s функция C(js) изучалась Эйлером [1]. В частности, пользуясь тождеством (2), Эйлер дал аналитическое доказательство теоремы Евклида о бесконечности количества простых чисел. Риман [2] стал изучать C(s)j как функцию комплексного переменного. Риман показал, что с помощью применения теории функций комплексного переменного к исследованию £(s) можно получить новые глубокие результаты о распределении простых чисел. Следующие две формулы “продолжают” £(s) на всю 5- плоскость:

1 1 [ p(u)du
<м = 7Щ + 2 + ~ 2 ~

7Г~|Г (jL'j £(s) = vr-Vr C(1 - s).
Из этих формул следует, что функция ((s) на всей s- плоскости является аналитической с единственной особенностью в точке s = 1,

Оценим сверху Д(£). Пользуясь следующими соотношениями
1п(1 + х) = 1п(1 + х) — 1п 1 = aгctg х = arctg х — arctg

1 + 5х х
, х > 0, 0 < 6 < х,
х > О, О < 8 < х,
1 + 8х2 ’
которые следуют из формулы Лагранжа о конечных приращениях, найдем , ( 1 1 11 ‘Ч1 + 5+)-’ агс‘ей-й'
Подставляя эти оценки в выражение для Д(£), находим

* / ч * 1 11 * {
- 4'4 + 4‘2_2>

р{и)йи
(* + Г +
12 _1_ Л <
(1.3.4)

„ (- + 1)2 + 1‘
Оценим интеграл «/(£), обозначая для краткости его знаменатель через /(и). Имеем

п( 11 ,
-(1и
ло=Е

ОО г

/ 7$** + I ТТЛ У /(«) У /(«)
. п п+0
' 0,5 0
Г 0,5-ц Г
У /(п+и) У

/(п + 0, 5 + и
~(1и

Г 0,5-и [ 0,5 -и
У /(п + и) “ У /(п + 1-

п=0 п
(п + и)

/(п + и) /(п + 1-и)_
-с1и

(О, 5 — и)с1и.
Так как

/(п + и) /(п+1-и)
< (1-2ц)(2тг + 2 + 0 <
(1-2и)(п + *)8 128(1-2«)
(п+1)4 ~ (и + *)3
(-2 + !)