Точки в группах с условиями конечности

• Автор: Яковлева, Елена Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 62 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение

Глава 1. Определения и известные результаты

§ 1.1. Определения и известные результаты

§ 1.2. Свойства групп с точками

Глава 2. Группы с разрешимыми конечными подгруппами, обладающие точками

§ 2.1. Существование в группе бесконечной подгруппы с заданным свойством для фробениусовых подгрупп

§ 2.2. Группы с точками, обладающие конечной периодической частью

Глава 3. Изучение строения разрешимых конечных подгрупп в группе с самонормализуемой подгруппой

§3.1. Предварительные леммы

§ 3.2. Доказательство основной теоремы

Список литературы

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. При изучении групп важное место занимают исследования, связанные с исследованием групп с бесконечными системами конечных подгрупп. Развитие этого направления в нашей стране берет свое начало в работах О.Ю. Шмидта. Результаты по этому направлению можно найти в работах С.Н. Черникова, В.П. Шункова, М.И. Каргаполова и др.
В настоящей диссертации рассматриваются признаки существования конечной периодической части в группе, удовлетворяющей некоторым условиям конечности. Рассматриваются свойства групп с особыми элементами конечного порядка, которые содержатся лишь в конечном множестве конечных подгрупп в нормализаторе любой конечной подгруппы. Такие элементы называются точками. Понятие точки группы было введено В.П. Шунковым для изучения расположения элементов конечного порядка в бесконечных группах. Некоторые свойства групп с инволюциями, содержащими точки, описаны в работе В.П. Шункова [15]. Группы без инволюций, обладающие точками, рассматривались в работе В.II. Шункова и В.И. Сенашова [7].
Цель работы. Получить новые свойства групп, обладающих точками. Изучить строение разрешимых конечных подгрупп в группе С с самонормализуемой подгруппой и некоторыми дополнительными условиями. Получить характеризацию групп с конечной периодической частью, обладающих парой точек.
Методика исследования. Применяются теоретико-групповые методы исследования, в том числе разработанные научным руко-

водителем автора В.П. Шунковым.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и снабжены доказательствами.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях по теории групп и при чтении специальных курсов лекций по алгебре.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на Конференции молодых ученых (ИВМ СО РАН, 2001 и 2002 гг.), на I и II Всесибирском конгрессе женщин математиков (Красноярск, 2000, 2002 гг.), на Международном семинаре по теории групп (Екатеринбург, 2001), на Красноярском городском алгебраическом семинаре, на научно-практических конференциях Лесосибирского педагогического института филиала Красноярского госуниверситета.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [23]—[33].
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы (35 наименований), занимает 62 страницы текста, набранного на 1ХТ£Х. Нумерация теорем, лемм и свойств в диссертации тройная: первое число — номер главы, второе — номер параграфа, третье — номер теоремы, леммы или свойства.
Содержание работы. К основным результатам диссертации относятся теоремы 2.1.1, 2.2.1, 3.2.1.
В первой главе приведены доказательства свойств групп с точками, а так же известные результаты и определения, использую-

второго случая. Лемма доказана.
Определение. Если некоторая подгруппа А группы G обладает двумя точками и, v с централизаторами, являющимися конечными расширениями центра группы А, и в А выполняется (и,v)-условие конечности, причем, в А бесконечно много элементов конечного порядка, то такую подгруппу называют группой типа £.
Лемма 2.1.8. Пусть группа G обладает подгруппой X = гр(с~16с, а), являющейся конечной группой Фробениуса с ядром, содержащим элемент а, 01 — некоторое бесконечное подмножество Oli такое, что Lk = гр(а, к) — конечная группа Фробениуса с ядром, содержащим к(к Е 01). Тогда в группе G существует подгруппа типа
Доказательство. По предложению 22 и лемме 2.1.4, для группы X справедливы следующие ограничения на индексы: CG(a) : Q П Со (а) | < оо, Q : CG{bc) П Q < со, где Q — NG(X), и для любой группы Lk(k Е 01) | Со (к) : М П CG{k) < оо, М : CG(a) ПМ | < оо, где М — NG(Lk). Очевидно, |М : М П Q < оо, CG(k) : М П Q|, и в М П Q найдется подгруппа Д конечного индекса в Со{к), и X, Lk < CG(Pk) = T'k(k Е 01). Если бы для некоторого бесконечного подмножества ф из 01 подгруппы Т* обладали конечными периодическими частями, то подгруппы гр(X,Lk)(k Е ф) были бы конечными, а множество таких подгрупп бесконечным. Но тогда X входила бы в качестве неинвариантного множителя в бесконечное число фробениусовых подгрупп, а это противоречило бы свойствам таких подгрупп [2].