Модули без кручения над полупервичными кольцами

• Автор: Данлыев, Хайытмырат
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Киев
• Количество страниц: 81 c. : ил

ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

§ I. Полусовершенные , полупервичные и полуцепные

кольца

§ 2. Колчан полусовершеиного кольца

Глава II. ПОЛУПЕРВИЧНЫЕ НЕТЕРОВЫ КОЛЬЦА, КАЖДЫЙ ПРАВЫЙ ИДЕАЛ КОТОРЫХ ИМЕЕТ ДВЕ ОБРАЗУЮЩИЕ

§ 3. Колчан полупервичного кольца

§ 4. Строение полупервичных полусовершенных нетеро-вых колец, каждый правый идеал которых имеет две образующие

Глава III. МОДУЛИ БЕЗ КРУЧЕНИЯ НАД ПОЛУПЕРВИЧНЫМИ КОЛЬЦАМИ

§ 5. Вычисление модулей

§ 6. Модули без кручения над первичными кольцами... Цб § 7. Модули без кручения над полупервичными кольцами
Литература
Важную роль при изучении различных классов колец играет изучение модулей над ними (под кольцом в настоящей работе понимается ассоциативное кольцо с единицей , а под модулем, если не оговорено противное , унитарный правый модуль). Одним из естествен -но возникающих классов колец такого типа является класс полупрос-тых артиновых колец. Эти кольца в силу теоремы Веддербарна-Арти-на характеризуются тем , что над ними все модули полупростые.
Введенные Кете однорядные артиновые кольца [2б]характеризуются тем , что над ними все модули разлагаются в прямую сумму однорядных модулей , т.е. модулей , обладающих единственным композиционным рядом , все факторы которого изоморфны между собой.
Согласно [17] модуль называется цепным, если структура его подмодулей линейно упорядочена. Прямая сумма цепных модулей на -зывается полуцепным модулем. Говорят , что кольцо - полуцепное справа (слева) , если оно является полуцепным правым (левым) модулем над собой [17] . Полуцепное кольцо - это полуцепное справа и слева кольцо.
Накаяма [29] показал , что над полуцепным артиновым кольцом все модули полуцепные. Л.А. Скорняковым доказано , что и наоборот , если над кольцом все модули полуцепные , то это артиново полуцепное кольцо [17].
Отметим также , что Ю.А. Дрозд 8 и Уорфилд [зо] независимо показали , что кольцо является полуцепным тогда и только тогда , когда над этим кольцом все конечнопредставимые модули полуцепные.
Часто при рассмотрении модулей над кольцом изучаются не все модули , а некоторые конкретные классы модулей (например, модули без кручения). Так при описании целочисленных представ

лений колец возникают так называемые модули представлений или, что то же, модули без кручения в смысле Басса [22]. Многие работы посвящены изучению целочисленных порядков., неразложимые модули представлений над которыми изоморфны правым идеалам порядка. Эта тематика ведет начало от работы Басса [21] , в которой рассматриваются модули без кручения над коммутативной об -ластью целостности , каждый идеал которой имеет две образующие.
В работе [15] результат Басса перенесен на случай модулей представлений некоммутативных порядков. З.И. Боревич и Д.К. Фаддеев [I] ,[2] рассмотрели представления порядков с циклическим индексом. Этот класс порядков совпадает с классом порядков , рассмотренных в [26] . В работе [9] вводится класс бассовых порядков, содержащий, в частности , все наследственные порядки и порядки, каждый правый идеал которых имеет две образующие и показано , что над такими порядками все неразложимые модули представлений изоморфны правым идеалам порядка. В той же статье получено описание бассовых порядков над полным локальным дедекиндовым кольцом. В работе [9] показано , что всякий бассов порядок над полным локальным дедекиндовым кольцом эквивалентен в смысле Мо -риты прямому произведению наследственного порядка и порядка , каждый идеал которого имеет две образующие.
Как следует из [1б] порядки над полным локальным дедекиндовым кольцом являются полусовершенными кольцами. Кроме этого, с точки зрения общей теории колец , целочисленные порядки являются полупервичными нетеровыми с двух сторон кольцами.
Целью настоящей работы является изучение нетеровых с двух сторон полусовершенных полупервичных колец , каждый правый (левый) идеал которых имеет две образующие и модулей без кручения в смысле Басса над нетеровыми полусовершенными полупер

Г ап по %'е 0 .. *> 0
аг1 / агг #гс? .. агт • (6.2)
а'т а'пг / • • я ^ /г/ж
Рассмотрим вначале произвольную матрицу Р вида
Г оС ^ 0 "
-Г = сСз • (6.3)
Имеем
■Р'
/ ^
-У
оС^ 0 сСу ~
/ с
(6.4)

(6.5)
Очевидно ,
/ сО
о р *
Рассмотрим левый б' - модуль По условию
теоремы, учитывая лемму 6.2, возможны три случая:
I)/=<ГЛ^> . 2) -3)
Случай I). Имеем / - + У Р , где
X, у 6 (Г
Тогда