Распределение точек на многомерных цветных торах

• Автор: Абросимова, Альбина Андреевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Владимир
• Количество страниц: 104 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Перекладывающиеся торические развертки

1.1 Определение перекладывающейся

торической развертки

1.2 Гексагональные торические развертки

1.3 Произведение торических разверток

1.3.1 Произведение полуинтервала Т1 и шестиугольника Г2(с), с е Ссоп и с €

1.3.2 Произведение шестиугольника Т2(с) и полуинтервала Т1, с € Ссоп и с € СпсоП

1.3.3 Трехмерные развертки тора при с € СпсоП

2 Отклонения для считающих функций

2.1 Векторная дробная часть и суммарное векторное отклонение
2.2 Определение отклонений 5к(г, хо)
2.3 Точные границы для отклонеий
2.3.1 Точные границы отклонений
для разбиений двумерного тора
2.3.2 Точные границы отклонений
для разбиений трехмерного тора
2.4 Средние значения отклонений

2.4.1 Средние значения отклонений для
двумерного тора
2.4.2 Средние значения отклонений для
трехмерного тора
2.5 Оптимизация границ отклонений
Заключение
Литература

Введение
Актуальность темы исследования
Область исследования диссертации относится к разделу теории чисел, занимающемуся изучением множеств ограниченного остатка. Актуальность для теории чисел изучения множеств ограниченного остатка и их многомерных динамических модификаций обусловлена современной тенденцией перехода от классических арифметических числовых и функциональных структур к нелинейным арифметическим структурам. Динамические системы на множествах ограниченного остатка порождают хорошо сбалансированные слова, аналогичные словам Штурма и Рози. Значимость же сбалансированных слов объясняется их многочисленными применениями в таких областях, как динамические системы, теория кодов, теория коммуникации и задачи оптимизации, теория языков и лингвистика, теория распознавания и статистическая физика (Kawasaki-Ising model), например [36], [39], [41], [42].
В 1916 г. Г. Вейль [28] доказал критерий равномерного распределения. Пример последовательности равномерно распределенной по модулю 1 — это последовательность дробных долей {ia}i>i при иррациональном а.
Рассмотрим ß-мерный тор Т0 = /L, где L — полная решетка раз-

Лемма 1.3. Решетка L1 ®i L2 С М3 полная, и ее объем равен
volL1 ®XL2 = volT1 ®іГ2(с). (1.3.21)
Доказательство. Из системы (1.3.19) и равенств (1.3.20) вытекает формула
vol L1 (g>i L2 — vol L1 • vol L2. (1.3.22)
Поэтому из полноты решеток L1 и L2 следует, что решетка Ll®Li2 также полная. Теперь равенство (1.3.21) вытекает из (1.3.22) и аналогичных равенств vol L1 = vol Т1, и vol L2 = vol Т2(с). Q
Шестиугольной призмой T1<8>iT2(c) можно разбить все пространство Ж3, таким образом, Т1 (£>о Т2(с) можно считать фундаментальной областью для решетки (1.3.18), и ее можно считать разверткой трехмерного тора Т3 = 1R3/Z3.
В качестве вектора сдвига тора Т3 выберем начальный вектор у1 = (vi,wq). Для полуинтервала Т1 и шестиугольной развертки Г2(с) разложение векторов сдвига и wq по базисным векторам решеток (1.3.20) имееют вид: гд = (а1 — 1)/{, wq = ami + По (1.3.19) и данному
разложению имеем равенство
у1 — (а1 — 1)1° = (0, а^шо) и для вектора у1 получаем разложение в базисе (1.3.11) у1 = (а1 — l)lj + а1а2Дп + а1оиДгЇ
Отсюда вытекает, что вектор у1 = (гд,г(;о) = (&1 ~ ІШ1Ш2) иррационален относительно решетки L1 L2 тогда и только тогда, когда числа а1 — 1, Да2, 1 линейно независимы над кольцом целых чисел Z. Будем называть это утверждение критерием иррациональности вектора у1 в случае k = 1.