Об арифметических свойствах значений гипергеометрических функций

• Автор: Иванков, Павел Леонидович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 123 с.

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Рассмотрим обобщенный гипергеомет-рический ряд

где а(х) = (ж+ах)... (х+аг),Ь(х) = (ж+/Зх)... (х+/Зт), а{х)Ъ(х) ф О при х — 1,2, 3,
Пусть I — некоторое мнимое квадратичное поле или поле рациональных чисел; а(х) и Ь{х) — многочлены из кольца 1[ж]; ш ф 0 — число из поля I. Требуется доказать линейную независимость над I чисел

а также выяснить вопрос о возможной малости модуля линейной формы

с коэффициентами из кольца целых чисел поля I в зависимости от величины Н — шах(|/гх|
Первым шагом на пути к решению поставленных задач является построение линейной приближающей формы, имеющей высо-

1)(ш)

кий порядок нуля при г = 0. В рассматриваемом случае это означает, что требуется подобрать многочлены Ра(г), Рх(х),, Рт(г) степеней не выше п так, чтобы функциональная форма
и была бы отлична от тождественного нуля. Дополнительно требуется, чтобы коэффициенты многочленов удовлетворяли некоторым ограничениям. Выбор величины е(п) определяется возможностями метода, применяемого при построении функциональной формы Я(г). При рациональных параметрах ад
Теорема I. Пусть функции
линейно независимы над полем параметры а

имела при г = 0 порядок нуля не меньше, чем
тп - є(п),

Н = тах(3, hjJ = 1,.. ,,т), а положительная постоянная 7 зависит от аі,/3,иі.
Заметим, что аналогичные следствия можно получить из теорем работы [4] и в более общей ситуации. При доказательстве
теоремы I величина е(п) из (4) имеет порядок О Уточнить
оценку (5) можно только за счет присутствующей в показателе степени величины ы[~н Однако, осуществить такое уточнение
в присущей методу Зигеля общности не удаётся. Не удаётся также применить метод Зигеля в его классической форме для исследования арифметической природы значений функций вида (1) в случае, когда параметры этих функций не являются рациональными; причины последнего обстоятельства вскрыты в работе А.И.Галочкина [5].
В некоторых случаях линейную приближающую форму (3) можно построить эффективно. Такое построение применялось в различных работах; см., например, [6] - [11]. Следующая теорема из работы [8] характерна для получаемых этим методом результатов.
Теорема II. Пусть Р(г) — функция вида (1), [3

> #-™-ЇЇГЙя; (6)

Н = шах(3, hjJ = 1
При эффективном построении приближающей формы Щг) её порядок нуля обычно оказывается максимально возможным, и є(п) в (4) на деле от п не зависит. Это приводит к уточнению
Числа р, для которых (р, А ]) > 1, не входят в разложение произведения (1-31) на простые множители, и для них указанная степень также не превосходит величины 5і + £2-
Таким образом, имеет место включение
Кш/Т2 Є (1.33)

& = П р51+52-
Заметим, что ряд 6"і состоит сплошь из нулей, если р > Мрп. Поэтому выражение для можно переписать так:
рМ2п рЛг
Пусть
<э2= П р5і-45з> С1-35)
р.М2п

яз=[]- (1-36)
Из (1-34) и (1.35) следует, что
Ql/Q2 Є N. (1-37)
Нетрудно убедиться, что выполняется и такое включение:
7і/£?2 Є 27 (1.38)
Действительно, пусть р — простое число, (р, А) = 1, р Мп. Оценим снизу показатель степени г(р), с которым р входит в каноническое разложение числа Т. С учетом того, что могут быть вычеркнуты скобки, равные нулю (таких скобок не более одной в каждом из двух произведений, входящих в числитель), получаем такую оценку