Бирациональные свойства многообразий модулей полустабильных пучков ранга два на проективной плоскости

• Автор: Сорокина, Мария Евгеньевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Ярославль
• Количество страниц: 76 с. : ил.

Глава 1. Многообразия модулей полустабильных пучков на поверхностях

§1. Известные результаты о поведении многообразий модулей при раздутиях

§2. Многообразия модулей полустабильных пучков на Р2

1.2.1. Общие сведения

1.2.2. Многообразие Мр2 (0,2)

§3. Изменение поляризации и перестройки многообразий модулей

Глава 2. Бирациональный изоморфизм многообразий Мрг(0,2) и Мр1 (0,2)

§1. Предварительные сведения и обозначения

§2. Описание морфизма р : С? -» М

§3. Многообразие С. Гладкость С

§4. Построение универсального семейства на О х

§5. Точки многообразия М
§6. Свойство универсальности многообразия М
Глава 3. Бирациональная перестройка многообразия Мр2(0,3)
§1. Предварительные сведения и обозначения
§2. Перестройка Маруямы универсального семейства на IV х
§3. Стабильность пучков, входящих в семейство Т
§4. Многообразие Мо
Литература

Актуальность темы. Цели работы. Описание геометрических свойств многообразий модулей стабильных и полустабильных когерентных пучков на алгебраических многообразиях является одним из интенсивно развиваемых направлений современной алгебраической геометрии. Актуальность этого направления обусловлена как задачами внутри самой алгебраической геометрии, так и многочисленными приложениями в дифференциальной геометрии и топологии, глобальном анализе и теоретической физике. Так, многообразия модулей векторных расслоений Е ранга 2 с нулевым первым классом Чжэня на гладкой комплексной проективной поверхности 5, стабильных относительно поляризации Н, индуцируемой проективным вложением поверхности 5, в силу соответствия Кобаяши-Хитчина интерпретируются в калибровочной теории как пространства инстантонов, т.е. модулей 517(2)-связностей на Е, антиавтодуальных относительно ходжевой метрики дц на поверхности 5, рассматриваемой как гладкое 4-мерное многообразие. Это соответствие имеет нетривиальное продолжение на компактификации алгеброгеометрических многообразий модулей по Гизекеру-Маруяме и соответствующие компактификации по Уленбек пространств инстантонов. Важную роль в этой теории играют бирациональные перестройки многообразий модулей пучков (соответственно, перестройки пространств инстантонов) при бираци-ональных перестройках поверхностей, в частности, при раздутии поверхности в точке 5 -» 5. Первый результат в этом направлении для пучков ранга 1 с нулевым первым классом Чжэня и вторым классом Чжэня = 2 (первый нетривиальный случай), когда соответствующее пространство модулей есть схема Гильберта Ш1Ь2 5, получен в статье А.С.Тихомирова [14], в кото-

рой дано точное описание бирациональной перестройки НШэ2 5 — + ЕШЬ2 5 как композиции двух раздутий и одного стягивания с гладкими центрами (см. теорему 1.1.1 ниже). Случай пучков ранга 2 в алгебраической геометрии до настоящего времени оставался открытым, а параллельные результаты в калибровочной теории были впервые получены в диссертации А.Кинга
[8] для ранга 3 и выше для инстантонов со вторым классом Чжэня с% = 1. А.Кинг рассматривает случай некомпактной поверхности, а именно, 5 = С2 и, соответственно, 5 есть плоскость С2 с раздутой точкой, и доказывает гипотезу П.Кронхеймера о том, что при г > 2 многообразие модулей 81](г)-инстантонов с зарядом п = 1 на раздутой плоскости С2, пополненное по К.Уленбек (теоретико-калибровочной эквивалент многообразия М(0,1) для пучков ранга г > 2 при п = 1), получается из многообразия модулей инстантонов на С2 раздутием вдоль подмногообразия идеальных инстантонов с особенностью в центре раздутия (теорема 1.1.2).
А.С.Тихомиров в 2002 г. сформулировал гипотезу о том, что в случае, когда 5 = Р2, для малых значений п второго класса Чжэня и надлежащим образом выбранной поляризации Н на плоскости с раздутой точкой 5 = Fl многообразие М^ (0, п) модулей Л-полустабиль ных когерентных пучков ранга 2 с классами Чжэня с — 0, с% — п на поверхности Рх есть многообразие Мр2(0,п) модулей полустабильных когерентных пучков ранга 2 с классами Чжэня с — 0, Сг = п на проективной плоскости Р2, раздутое вдоль подмногообразия пучков, не локально свободных в центре раздутия Рх —у Р2 -точке хд. Целью настоящей диссертации является доказательство гипотезы
А.С.Тихомирова в случае С2 = 2, а также в случае С2 = 3 для открытого подмножества Мд многообразия МР2(0,3), полученного удалением из Муз(0,3) точек, соответствующих классам изоморфизма пучков Е, имеющих особенность длины 1Хо(Е^/Е) > 2 в точке Хд или имеющих особенность В Хд, но с
1(Е/Е) = 3.
Методы работы и научная новизна. При исследовании применяется конструкция многообразий модулей полустабильных (по Гизекеру) пучков Е ранга 2 на проективной плоскости, в которой многообразие Мрфсх, сд) реалиЗамечание 2.4.11. При доказательстве предложения 2-4-9 получено, что К(Т>) = а*вЛ®р*{Ог)0(Оо)М01о{-1)).
Далее мы будем рассматривать только те точки у Є Дц которые соответствуют пучкам, не являющимся прямой суммой двух пучков идеалов точек на Р2. Проверим, что в таком случае пучок £зу £зу полустабилен.
Ограничим последовательность (2.21), тензорно умноженную на (9х(—О), на Об;-
О ч £ву(-1о) ч Е^ ч £зу ч 0.
Пусть 1г(ат + ЬН) - некоторый подпучок пучка £$ . Приведенный многочлен Гильберта этого пучка относительно поляризации Н — т + Ь равен
Ріг{аг+Ьк){тЮ = + (2а + 6 + -)т + -(а2 + За + 2а6 + 2Ь + 2 — 21(И)),
а приведенный многочлен Гильберта пучка £3

Ре3у{тН) = 2ш2+2Ш’
так что Тг(ат + ЪК) является дестабилизирующим подпучком тогда и только тогда, когда
2а + Ъ > 0 V (2а + Ъ = 0 А а2 + За + 2аЬ + 26 + 2 - 22(£) > 0). (2.32)
Пусть 1г'{—ат—ЬК) = £^/іДат+Ь/ї). Тогда вычисление многочлена Чжэня пучка 5^ дает 1 + 2і2 = сДД^) = 1 + (1(Я) + 1(Я) - а2 - 2аЬ)£2, откуда получаем еще одно условие на числа а и Ь: 1(Я) + 1{Я) — а2 — 2аЬ = 2. Таким образом, а2+2а6+2 > 0. Вместе с (2.32) это означает, что дестабилизирующим подпучок Хг{ат + ЬЬ) может быть только при а > 0.
Ограничение тройки 0 ->■ 7?. —>■ Еи —>■ £ 0 на 5^ дает 0 —>■ Оі0 —>
Оій{1) 0 Оіо ч Сзу ч 0. Таким образом, Сзу = Оі0( 1) или £зу = (Д0 © К-