О бесконечных группах Фробениуса и Mp-группах

• Автор: Козулин, Сергей Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 75 с.

Глава 1. Известные результаты, определения, вспомогательные предложения

Глава 2. М^-группы с ручками порядка, отличного от трех

§2.1. Мр-группа, примеры, основные результаты

§2.2. Подгруппы второго рода и типа (*)

§2.3. Выбор более удобного контрпримера

§2.4. Строение подгрупп типа Ьд = (а, а9), д £ С Н

§2.5. Завершение доказательства результатов главы

Глава 3. Группы Фробениуса с неинвариантным множителем 5X2(3)

§3.1. Основная теорема и предварительные леммы

§3.2. Строение множества 971 ядер групп Фробениуса вида Ьд = (а, а9)

§3.3. Завершение доказательства результатов главы

Список литературы

Актуальность темы. Изучение бесконечных групп с разного рода условиями конечности началось еще в 30-х—40-х годах прошлого века в школе О.Ю. Шмидта. Это было связано с попытками обобщить некоторые результаты по конечным группам на бесконечные группы. Результаты по этому направлению можно также найти в работах С.Н. Черникова [28, 29], М.И. Каргаполова [12, 13], В.П. Шункова [31, 32] и др.
Диссертационная работа также относится к этому разделу теории групп. В ней получены признаки непростоты некоторых бесконечных групп с условиями конечности и охарактеризованы Мр-группы. Признаки непростоты находят применение во многих областях теории групп. Одним из основных признаков непростоты является теорема Фробениуса. В 1901 году Г. Фробениус доказал, что в конечной группе б?, обладающей парой Фробениуса (О, Л"), совокупность элементов, не содержащихся ни в Н, ни в одной сопряженной с Н подгруппе, вместе с единицей составляют нормальный делитель Е группы (3 |40|. Теорема Фробениуса в полном объеме переносится на класс локально конечных групп [3, 4]. Также она справедлива и в классе (периодических) бинарно конечных групп, т.е. групп, в которых любая пара элементов порождает конечную подгруппу [20]. Однако теорема Фробениуса неверна в общем случае, более того, она неверна в классе периодических групп. В связи с этим фактом В.П. Шунковым определение пары Фробениуса было распространено на бесконечные группы. Напомним, что (О, Н) называется парой Фробениуса, если Н П На = 1 для любого элемента деСН.
В.П. Шунковым был введен следующий аналог определения группы Фробениуса для бесконечных групп.
Определение. Группа вида С? = Е X Н называется группой Фробениуса [33], если выполняются следующие условия:

1) На п Я - 1, д Е С Я;
2)С^и9еСЯП{1}.
Идея рассматривать произвольные, не обязательно конечные группы Фробениуса Ьд = (а,д~1ад) с циклическим неинвариаитным множителем (а) принадлежит В.П. Шункову [20]. Признаки непростоты групп с произвольными подгруппами Фробениуса Ьп позволяют делать более сильные заключения о строении групп с дополнительными условиями конечности. В диссертационной работе методика исследования групп также основана на изучении бесконечного множества подгрупп Фробениуса. В исследованиях бесконечных групп с различными условиями конечности потребовались более сильные признаки непростоты, чем теорема Фробениуса. Как правило, в них утверждается существование в С нормальной подгруппы — ядра некоторой группы Фробениуса. Подобные теоремы в школе В.П. Шункова принято называть признаками непростоты и они близки по содержанию к теореме Фробениуса. В значительной мере их появление было продиктовано потребностями развиваемой В.П. Шунковым и его учениками "положительной теории периодических групп". Получение признаков непростоты и исследования групп Фробениуса проводились А.И. Созутовым и В.П. Шунковым [19, 21, 22, 23, 24, 31, 33, 36].
Мр-группы с ручками порядка, отличного от двух, в группе без инволюций изучались в работах В.П. Шункова [34, 35, 36]. Мр-групиы с ручками порядка 2 изучал В.О. Гомер [6]. В диссертации получен признак непростоты бесконечной группы. Из него как следствие получена характеризация Мр-групп с ручками порядка, отличного от трех.
Напомним определение Мр-группы.
Группа С называется Мр-группой, если для ее бесконечной нормальной полной абелевой р-подгруппы В с условием минимальности и элемента а порядка р выполняются следующие условия:

А=(а),Ы = <3А,Я = Мс((а)), © - избС 9~1Л*д-,
£ — множество элементов с из О Н, для которых (а, с) = (а, ас) — группа Фробениуса с неинвариантным множителем Л и ядром, содержащим элемент с. Через Д — множество элементов с из С Я, для которых (а, £с) = (а, а1с) — группа Фробениуса с неинвариантным множителем <ЗХ(а) и ядром, содержащим элемент с (здесь £ — некоторый элемент из С}). Множество Ш1 = £и£2(Д Далее, для элемента в £ д~1А^д положим Д, = (я) = А9, N.. = №, Д., = II9. На = IIя и Ш8 = д~1Шд. Кроме того, если (в, £) — группа Фробениуса с неипвариантным множителем А3 для некоторых я £ © и £ £ ©Я5, то мы просто напишем (яД) = Л(оД). Если (вД) — группа Фробениуса с неинвариантным множителем Лу для некоторых в £ © и £ £ © Н8, то (вД) = Д(йД). Зафиксируем инволюцию г £ <3.
Всюду в дальнейшем тройка (С,Н,а) удовлетворяет условиям 1), 2) теоремы 3.1.
Ввиду теоремы 10 из [9] подгруппы Фробениуса Ьд = (а, д~1ад) (д £ С? Я) — конечные с абелевым ядром.
Нам понадобятся некоторые свойства групп Фробениуса, а именно:
Лемма 3.1. Пусть Ь = Я X (<2 X (о)) — группа Фробениуса с неинвариантным множителем N — <5 X (а) и ядром Я. Справедливы следуюи/рхе утверждения:
1. Для любого неединичного элемента в £ N отображение а8 : Я —> Я, задаваемое формулой аДс) = з~1с~1вс, является биекцией.
2. Если Ь — В X 1У„ (Я„ = (и)) и АДЯ*,) = 1Д то В = Я и
Я„ = IVе для некоторого с £ Я.
Я Ясуш для некоторого элемента Ъ £ Я группа М — (Я, Яь) — группа (фробениуса с неипвариантным множителем Я„ = (5^ X (о), то 6 £ М, М П Я —' ядро в М и сопряжена с N в М.
Доказательство. 1. Доказательство пункта 1 проводится по аналогии с доказательством леммы 6.1 из [36]: пусть 5 £ 6, с £ Я и