Производные алгебраические системы некоторых колец

• Автор: Середа, Владимир Александрович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 72 с.

1. Предварительные сведения

1.1. Теорема Голода-Шафарефича

1.2. Альтернативные кольца

Ф 1.3. Алгебры Новикова

2. Ассоциативные ниль-алгебры и группы Голода

2.1. Конечно порождённые ниль-алгебры

2.2. Некоторые свойства групп Голода

2.3. Об одном вопросе Тимофеенко

2.4. Ниль-алгебры с операторами

2.5. Об одном вопросе Рожкова

3. Ниль-радикалы альтернативных колец

3.1. Радикал Бэра и вопрос Жевлакова
3.2. Нильпотентность некоторых идеалов
3.3. О стабилизации бэровских идеалов
^ 3.4. Две комбинаторные леммы
3.5. Продолжение доказательства теоремы 3
3.6. Доказательство теоремы 3.2 и следствий

4. Гомотопы алгебр Новикова
• ■ 4.1. Обозначения и определения
4.2. Левые гомотопы алгебр Новикова
4.3. Центральные изотопы
4.4. Гомотопы первичных алгебр Новикова
Список литературы
• Публикации автора по теме диссертации

Пусть Д — некоторое кольцо с основными операциями сложения и умножения. Одним из основных методов построения новых алгебр и других алгебраических систем является метод производных операций. Так в случае ассоциативной ниль-алгебры (ниль-кольца) множество эле-€ ментов вида 1+а, где а £ Д, относительно операции умножения образует группу, которая называется присоединенной к Д. Можно рассмотреть производную операцию ’’присоединенного умножения” аоЬ = а + Ь+аЬ. В этом случае, с точностью до изоморфизма, получается та же самая присоединенная к Д группа. В ряде работ [20, 21, 22] А.И. Мальцев вводит и использует на ассоциативном кольце присоединённое умножение в • связи с разложением алгебры в прямую сумму радикала и полупростой
алгебры, с вложением группы в присоединённую группу кольца и т.д. Благодаря указанной плодотворной связи колец и групп решены многие известные проблемы [2, 5, 6, 32]. Наряду с кольцом Д часто рассматриваются так называемые ст-операторные кольца [19]. Подмножество К множества Д называется ст-допустимым, если для любого а € а и к £ К 0 ка € К. В диссертации с помощью конструкции Голода-Шафаревича
строятся ассоциативные ст-операторные ниль-алгебры и примеры не локально конечных р-групп с условиями конечности.
В наиболее общем виде метод производных операций был реализован А.И. Мальцевым в [21]. Он изучал связь между ассоциативными и неассоциативными алгебрами и кольцами используя следующие операции. Если в ассоциативной алгебре А над полем Ф определить умноже-* ние ”о” как
х°у = ^2 щхЬгуа +
г ]

[го, х]4 = [ш, х]2у [ш, х]2
для любых ги, х, у е Л. Но тогда из леммы 1.2 следует, что /^(Я) = Я, то есть /Зд(.К) = Д. Теорема доказана.
Следствие 3.1. Пусть Я — альтернативное кольцо с существенным тождественным соотношением, без элементов порядка 2 и 3 в аддитивной группе и А — нилъ-подколъцо в Я. Тогда /3(А) = А.
Утверждение следствия 3.1 можно доказать, используя теорему
3.2 и методы работы [37].
Следствие 3.2. Пусть Я — чисто альтернативное кольцо без элементов порядка 2 и 3 в аддитивной группе кольца, и А — нилъ-подколъцо в Я. Тогда @(А) = А.
Доказательство. Напомним, что чисто альтернативным кольцом называется альтернативное кольцо без ненулевых идеалов, лежащих в ассоциативном центре.
Покажем, что в Я выполняется некоторое существенное тождественное соотношение. Действительно, К = N(11) Г)С((Я, Я, Я)) есть идеал в Я и Д С N(R), где С((Я, Я, Я)) — полный аннулятор подкольца (Я, Я, Я). Следовательно, К = 0. Далее легко видеть, что [Я, ЗУ] С К
0. Поэтому в Я выполняется существенное тождественное соотношение
[[го, сс]4, [у, г]4] = 0 (см. [15]). Теперь следствие вытекает из теоремы 3.2.