Производные категории когерентных пучков и эквивалентности между ними

• Автор: Орлов, Дмитрий Олегович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 124 с.

Оглавление
Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Триангулированные категории и точные функторы

1.2 Производные категории и производные функторы

1.3 Производные категории пучков на схемах

2 Категории когерентных пучков и функторы между ними

2.1 Основные свойства категории когерентных пучков

2.2 Примеры эквивалентностей: бирациональные преобразования типа

3 Вполне строгие функторы между производными категориями

3.1 Диаграммы Постникова и их свертки
3.2 Вполне строгие функторы между производными категориями когерентных пучков
3.3 Построение объекта, представляющего вполне строгий функтор
3.4 Доказательство основной теоремы
З.А Приложение: п-кошулевость однородной координатной алгебры
4 Производные категории когерентных пучков на КЗ поверхностях
4.1 КЗ поверхности и решетка Мукаи
4.2 Критерий эквивалентности для производных категорий когерентных
пучков
5 Абелевы многообразия
5.1 Производные категории когерентных пучков: основные результаты
5.2 Эквивалентности между категориями когерентных пучков на абелевых многообразиях
5.3 Объекты, представляющие эквивалентности, и группы автоэквивалентностей
5.4 Полуоднородные векторные расслоения

Глава
Введение
Основными объектами изучения алгебраической геометрии являются алгебраические многообразия ( или схемы) и морфизмы между ними. Каждое алгебраическое многообразие X - это окольцованное топологическое пространство и, таким образом, оснащено топологией (чаще всего Зариского) и пучком колец регулярных функций Ох ■
Изучение алгебраического многообразия - это в большой степени изучение пучков на этом многообразии. И, так как пространство окольцовано, то естественными пучками, если не сказать основными, являются пучки Ох -модулей, среди которых своей алгебраической природой выделяются квазикогерентные и когерентные пучки.
Таким образом, с каждым алгебраическим многообразием А' связаны абелевы категории (квази)когерснтных пучков на нем соЬ(А^) и С^соЬ(А) . Морфизмы между многообразиями индуцируют функторы обратного и прямого образа между этими абелевыми категориями. Однако эти функторы не являются точными, то есть не переводят точные последовательности в точные. Это обстоятельство создает немалые трудности при работе с абелевыми категориями и неточными функторами между ними. Чтобы сохранить функториальность, Картан и Эйленберг ([26]) ввели понятие производных функторов, которые дают необходимые поправки к неточным функторам. Эта техника была развита Гротендиком в работе [17] и в дальнейшем привела к введению Вердье новых понятий: производной категории и производных функторов между ними [45].
В производных категориях в отличии от абелевых нет коротких точных последовательностей и не могут быть определены ядра и коядра морфизмов, но тем не

менее производные категории обладают некоторой внутренней структурой, которая была оформлена Вердье в понятие триангулированной категории.
Переход от абелевых категорий к производным от них позволяет решить многие проблемы, связанные с трудностями при изучении естественных функторов. В качестве одного из первых примеров нужно отметить создание глобальной теории пересечения и доказательство теоремы Римана-Роха. Это было сделано Гротенди-ком и соавторами в [6] и стало возможным с введением триангулированной категории совершенных комплексов.
Другой пример, который хотелось бы отметить, связан с введением превратных пучков и установление соответствия Римана-Гильберта, между голономными модулями с регулярными особенностями и конструктивными пучками, которое стало возможным только с привлечением понятия и техники триангулированных категорий (см. [5], [27]).
Из выше сказанного следует, что каждому алгебраическому многообразию естественным образом сопоставляются производные категории (квази)когерентных пучков. И многие вопросы, связанные с изучением многообразий, требуют исследования и описания этих триангулированных категорий. Первые шаги в этом направлении были сделаны в работах [4] и [3], в которых была описана производная категория когерентных пучков на проективных пространствах, что позволило в дальнейшем применить данную технику к исследованию многообразия модулей векторных расслоений на Р2 и Р3 . Этот подход был в дальнейшем усовершенствован, что позволило получить описание производных категорий когерентных пучков на квадриках и на флаговых многообразиях ([22],[23], [24]).
Введение понятий исключительного набора и полуортогонального разложения, позволило сформулировать новые принципы для описания производных категорий когерентных пучков ([7], [8]). Оказалось, что при наличии полного исключительного набора производная категория когерентных пучков эквивалентна производной категории модулей над конечномерной алгеброй ([7]). Понятие полуортогонального разложения позволило дать описание производной категории раздутия в терминах производных категорий раздуваемого многообразия и подмногообразия, в котором это раздутие происходит ([37]).
Однако для многих типов многообразий описать производную категорию не пред-

Предложение 1.3.5 ([18]III,3.2.1,[20]) Предположим, что / : X —» Y является собственным морфизмом нетеровых схем. Тогда функтор R/» посылает подкатегорию Т>+(Ох — Mod)COh в подкатегорию D+(CV — Mod)COh • Если кроме того X имеет конечную размерность, то аналогичное утверждение выполняется для ограниченной и неограниченной производных категорий.
1.3.е. Пусть £, Т € С(Ох~Mod) - два комплекса Ох -модулей. Определим комплекс Пот(£, Т) по правилу:
Потп(£. Т) = [Нот(£р, Хр+п)

с дифференциалом d = + l)n+1rf^ . Гомотопии между морфизмами комплексов
переносятся на локальный Пот , и мы получаем бифунктор
Пот : H(C>A'-Mod)op х H(0/Y-Mod) —>■ H(e>x-Mod).
Так как любой ограниченный слева комплекс имеет инъективную резольвенту, то получаем производный бифунктор
RПот : D(C>x — Mod)op х D+(C>x-Mod) —> D(0x-Mod).
В данной ситуации мы определим локальный гипер-Ext
£xt(£. Т) ■.= НЧПНот(£. F))
Для нетеровой схемы X , если £ и Т являются (квази)когерентными Ох -модулями, тогда для всех г > 0 пучки £xt(£, Т) также являются (ква-зи) когерентны ми.
Если теперь £ е D_(C>X —Mod)Coh а F 6 D+(0X — Mod)coh , тогда RПот(£. Т) принадлежит D((DX — Mod)coh .
1.3.f. Опишем основные свойства и соотношения между производными функторами, введенными в этом параграфе. Рассмотрим два морфизма / : X —Y и g : Y —¥ Z . В данной ситуации имеем два функтора L(gf)* и L/*Lg* из категории D-(0Z —Mod) в D_(C*X — Mod) . Тогда естественное преобразование