Стандартные базисы, согласованные с нормированием, и вычисления в полилинейных рекуррентах

• Автор: Горбатов, Евгений Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 139 с.

1. Схемы симплификации и стандартные базисы
1.1 Порядки на полиномах
1.2 Схемы симплификации
1.3 Схемы симплификации на полиномах
1.4 Стандартные базисы и 8-полиномы
1.5 Минимальные и редуцированные стандартные базисы
2. Стандартные базисы и вычисления в идеалах
2.1 Основные свойства стандартных базисов
2.2 Модуль сизигий и вычисления с идеалами
2.3 Элиминация
2.4 Каноническая система образующих и согласованные стандартные базисы
3. Приложения стандартных базисов
3.1 Линейные рекуррентные последовательности
3.2 Критерий цикличности ЛРП-семейства
3.3 Линейные регистры сдвига
3.4 Цилиндрические идеалы и подъем
Содержание
Приложение: Таблицы регистров сдвига
Литература
Предметный указатель
Указатель обозначений
Данная диссертация относится к компьютерной алгебре, алгебраической теории кодирования и комбинаторике (стандартные базисы над коммутативными цепными кольцами с приложениями в теории полилинейных рекуррент).
Развитие прикладных аспектов современной алгебры в последние десятилетия связано, в значительной степени, с построением основ теории полилинейных рекуррентных последовательностей и теории линейных кодов над конечными модулями. Возникающие при этом проблемы вычислительного характера чаще всего сводятся к необходимости оперирования с полиномиальными идеалами над конечными кольцами.
В качестве основных примеров можно указать следующие задачи: вычисление периода (поли-)линейной рекурренты [6]; построение системы образующих и вычисление мощности семейства полилинейных рекуррент с заданным характеристическим идеалом (линейного полициклического кода) (7, 10, 13, 26] и описание полилинейных регистров сдвига, генерирующих это семейство [14]; описание систем образующих и характеристических идеалов суммы и пересечения таких семейств; построение проверочной матрицы линейного циклического кода; решение системы полиномиальных уравнений над кольцом [15].
Все эти задачи сводятся к построению "удобных" систем образующих идеалов / В кольце многочленов Д[Х] = ..., ЗЦс] над конечным кольцом
Схемы симплификации и стандартные базисы

1.4 Стандартные базисы и Б-полиномы
Здесь, по аналогии с известными результатами для полиномов над полями (см., например, [18, 4]), вводится понятие в-полинома и на его основе строятся стандартные базисы полиномиального идеала по его произвольной системе образующих.
Зафиксируем некоторый допустимый порядок = Определение 1.4.1. Будем говорить, что полином Е £ Я[Х] обладает представлением относительно системы полиномов х £ .Я [А'], если

Р ~ (1-4.1)

где о,- € Я, щ £ [X] и С,- £ х■ Параметром представления (1-4.1) назовем
7Г-МОНОМ
]№ = тах{ ЪМ(а^Сг) | г е 1,т}. (1.4.2)
При т = 0 полагаем = 0.
Очевидно
Предложение 1.4.2. Если полином Я 6 Я[А] обладает представлением (1.4-1) с параметром IV, то
ЬМ(Я) =<: Ж. (1.4.3)
Определение 1.4.3. Представление (1-4.1) называется Н-представлением (относительно х), если ЬМ(Я) = Ж, где IV — параметр этого представления.