О квазимногообразиях Леви, порожденных нильпотентными группами

• Автор: Лодейщикова, Виктория Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Барнаул
• Количество страниц: 72 с.

Оглавление
Введение
1 Класс Леви, порожденный квазимногообразием ^ Гг (Л/2)
1.1 Условия принадлежности группы квазимногообразию ^Гг(Л/г)
1.2 Описание класса Леви, порожденного квазимногообразием <7Гг (А 2)
2 Класс Леви, порожденный квазимногообразием дНр
2.1 Условия принадлежности группы квазимногообразию дНр
2.2 Описание класса Леви, порожденного квазимногообразием дНр .
3 Класс Леви, порожденный квазимногообразием дНр>
3.1 Условия принадлежности группы квазимногообразию дНрв
3.2 Описание класса Леви, порожденного квазимпогообразием дИр> .
4 Квазимногообразия Леви экспоненты 2”
4.1 Описание квазимногообразий Леви экспоненты 2п
4.2 Квазимногообразие Леви экспоненты 8, содержащее нильпотент-ную группу ступени
4.3 Квазимногообразие Леви экспоненты 8, содержащее нильпотент-ную группу ступени
Заключение
Список литературы

Введение
Покрытием группы С? назовем всякую такую систему подгрупп этой группы, что теоретико-множественное объединение этих подгрупп совпадает с 67. Исследование влияния свойств покрытия на строение самой группы — одно из актуальных направлений теории групп. Этой области теории групп посвящена данная диссертация.
Покрытие называется расщеплением, если пересечение любых двух подгрупп из этого покрытия есть единичная группа. Изучение покрытий и расщеплений групп началось в работах П. Г. Конторовича [9] [14]. Некоторый обзор результатов, полученных в данном направлении, в том числе и относящихся к конечным группам, можно найти в работе П. Г. Конторовича, А. С. Пекелис и А. И. Старостина [15].
Покрытия конечно-порожденных абелевых групп изучались А. Розенфилдом в работе [31]. Ю. Ш. Гуревич [7] указывает некоторые условия для того, чтобы группа обладала покрытием из собственных характеристических подгрупп. Например, для периодических абелевых групп необходимым и достаточным условием служит неограниченность порядков элементов.
Также наряду с покрытиями подгруппами можно рассматривать покрытия группы подмножествами с теми или иными дополнительными свойствами. Например, Б. Нейман [30] и П. Кон [21] исследовали покрытия групп попарно перестановочными конечными подмножествами. В работе Б. Неймана [29] изучаются покрытия групп конечным числом смежных классов. В этой работе доказано, что коммутант группы 67 конечен, если 67 обладает конечным покрытием подгруппами с конечными коммутантами.
В теории групп существует довольно много теорем, имеющих вид: если неко-

торое свойство А имеет место для всех конечно-порожденных подгрупп какой-либо группы, то свойство А имеет место и для всей группы. Так, например, группа й имеет нормальную разрешимую (соответственно центральную) систему подгрупп, если такую систему имеет каждая конечно-порожденная подгруппа группы б. В [18] А. И. Мальцев показывает, что такие предложения не являются, в своем большинстве, специфически алгебраическими и могут быть получены как непосредственные следствия одного общего предположения математической-логики.
Особый интерес представляет изучение свойств группы С?, которые следуют из свойств групп некоторого покрытия группы С7. •
Пусть дано теоретико-групповое свойство 8. Будем говорить, что группа С обладает свойством 8(8), порожденным свойством 8, если нормальное замыкание (х)с любого элемента х из О обладает свойством- 8. Свойство 8(8) называется свойством Леви, порожденным 8. Изучение свойств Леви следует рассматривать как шаг в направлении исследования строения групп, покрываемых системой нормальных подгрупп.
Впервые свойство Леви было введено в работе Л. К. Каппе [26] под влиянием работы Ф. Леви [27], в которой исследовались группы с абелевыми нормальными замыканиями вида (х)с. Применительно к нильпотентным группам и их обобщениям это свойство достаточно подробно изучалось, например, в работах Л. К. Каппе и Р. Ф. Морса [24, 25, 26].
От свойств Леви естественно перейти к классам Леви. Для произвольного класса 84 групп обозначим через 8(84) класс всех групп &, в которых нормальное замыкание (х)° любого элемента х из-С принадлежит 84. Класс 8(84) групп называется классом Леви, пороэ/сденпым 84.
В работе Р. Ф. Морса [28] доказано, что если 84 — многообразие групп, то 8(84) также многообразие групп. А. И. Будкиным в [2] установлено, что если 84 — квазимногообразие групп, то 8(84) — также квазимногообразие групп.
Известно, что произведение двух нормальных нильпотентных подгрупп произвольной группы является нильпотентной подгруппой (см., например: [8, гл. 6, § 1]). Следовательно, если квазимногообразие 84 содержит лишь ниль-

что противоречит рассматриваемому подслучаю. Следовательно, G П И' = (1). По теореме 1.1.2 группа Н вложима в группу
Н/Н' х H/G Е qHp
и в этом нодслучае лемма верна.
Подслучай 1.3. Среди определяющих соотношений группы Н нет нетривиальных равенств вида
xix1 - • • a4"[.r,xi]q = 1.
Тогда группа II задана в 7Z роо соотношениями*
[х, Xi] = [х, X’i]fc*, г — 1, . . . , ТО,
[х, Xj] = 1, j = то,..., n,
[x^Xj] = 1, i,j = 1 ,...,n.
Возьмем произвольный элемент z E H, z ф 1. Ввиду признака принадлежности достаточно построить гомоморфизм ц? группы Н в некоторую группу F Е qHp, при котором ip(z) ф 1. Если г ф Н', то в качестве искомого отображения берем естественный гомоморфизм
<д: Я -> HjH' Е qHp.
Пусть z Е Н', тогда можно считать, что z = [х,х}.
Пусть Нр — гр(а, 6). Рассмотрим отображение
ф : х —» а, х —> Ь,
Xi —> bk‘, i = 2,..., то,
Xj -» 1, j = то,..., п.
Тогда
(x),ip(xi)} = [а,Ь]к' = [ф(х),ф{хх)к г = 2,... ,то, [^(ж),^(®^-)] = 1= j = т,... ,п, [ф(хф,ф(хф = 1, i,j =