Применение теории графов к ортогональным разложениям простых алгебр Ли

• Автор: Ждановский, Илья Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 85 с.

Оглавление

1 Ортогональные разложения алгебр Ли типа і и алгебры Гекке.

1.1 Определения ортогональных разложений, пар и алгебр

Гекке

1.2 Связь с представлениями алгебр Гекке

1.3 Соответствие между алгебрами Гекке, графами и ортогональными разложениями

2 Представления псевдоотражениями алгебры Гекке произвольного графа и связь с представлениями алгебры путей.

2.1 Алгебры Темперли - Либа и Л (Г)

2.2 Представления алгебры Гекке псевдоотражениями и модули над В (Г)

2.3 Гомоморфизм алгебры -В(Г) в квантовый группоид Пуанкаре и модули над ним

2.4 Определение алгебры Л(П) для любого графа П и применение накрытий

2.5 Регулярные графы и свойства оператора
3 Применение некоммутативной геометрии к ортогональным разложениям.
3.1 Некоммутативные и коммутативные дифференциальные
формы
3.2 Формально гладкие алгебры, универсальный гомоморфизм, пространства представлений и алгебры со следом.
3.3 Дифференцігально - геометрические структуры на многообразиях герп(А) и /ас„(А)
3.4 Примеры
3.5 Следы и пространства представлений
3.6 Применение некоммутативной геометрии к алгебре путей графа Г

3.7 Ь - функции Ихары - Зельберга
3.8 Алгебра колчана и суперпотенциал
4 Применение к ортогональным парам для в/(п),п < 5.
4.1 Общая конструкция
4.2 Ортогональные пары в э1 (п),п <

Введение.
Понятие ортогонального разложения простой конечномерной алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем к нулевой характеристики было введено в [1]. Напомним, что ортогональным разложением называется представление пространства алгебры Ли £< в виде прямой сумме попарно - ортогональных подалгебр Картана: & = ©"^ТС,-, причем К(К{,‘К{) = 0 при г ф у, где К - форма Киллинга. Ортогональные разложения изучаются с точности до действия автоморфизмов из АЫ(&). В работах [1], [2], [3], [4], [5] Кострикиных и Уфнаровского были построены ортогональные разложения для всех классических алгебр за исключением типов Ап- и Ст, где п - не является степенью простого числа, а т - степенью двойки. На сегодняшний день известны только так называемые J - разложения, построенные в уже упомянутых работах.
Далее, вместе с ортогональным разложением © изучались группы автоморфизмов АЫ(Ъ) - автоморфизмы алгебры Ли, сохраняющие ортогональные разложение ©. Далее, вместо понятия ортогонального разложения вводились более слабые формулировки:
• Неприводимое ортогональное разложение - ортогональное разложение, группа автоморфизмов которого действует на пространстве алгебры Ли £> неприводимо.
• Транзитивное ортогональное разложение - ортогональное разложение, группа автоморфизмов которого действует на множестве картановских подалгебр, входящих в него, транзитивно.
Кострикин А.И. и Фам Хуу Тьеп в [6], [7] с помощью классификации конечных простых групп классифицировали все неприводимые ортогональные разложения. В более поздней работе Иванов в [8] существенно ослабил требования о неприводимости.
В данной работе изучается связь между ортогональными разложениями алгебры Ли типа А, представлениями алгебр Гекке некоторого графа, оператором Лапласа на графе.

Доказательство. Так как С}Р{Г) - проективный В(Г) - модуль, то после применения ф' получим точную последовательность <ЗР(Г) -модулей:
О —+ фУ/) —> фУ) —> ф1(М) —> 0. (40)
Заметим, что для тривиального модуля ¥ выполнено равенство: ф'{¥) = Яотв(г)(дР( Г), ТУ) = 0.
Действительно, пусть / Е НотВ(г)((ЗР(Г),1¥), тогда для любого элемента 7 € <ЗР( Г) их, £ Я(Г) имеем /(х,-7) = х,/(7). Возьмем в качестве 7 элемент е,-, имеем /(х,-е,-) = /(е,) = х,/(е,-) = 0. Аналогично и для любого 7 € С?Р(Г) получим, что /(7) = 0. Тогда из последовательности имеем изоморфизм <ЗР(Г) - модулей.
Яошв(П(др(г), V) ^ яошв(г)(др(г),м). (41)

Применим предложение 15 к точной последовательности (27), получим изоморфизм дР(Г) - модулей, а следовательно, после отступления вдоль ф и Я (Г) - модулей:
Яотв(г)(дР(Г),Ях(Г)х,) - Нотт[дР{Г),УХ). (42)
Таким образом, последовательность (27) для Я (Г) - модуля Ух строится с помощью функторов ф' и ф*. Рассмотрим морфизм сопряжения ф*ф‘, далее получаем последовательность (27):
0 —> ¥ —)■ ф,ф% —^ Ух —> 0,
где IV - тривиальный Я (Г) - модуль.
Далее, будем изучать модули над группоидом Пуанкаре графа Г.
Предложение 16 Категории представлений Ж[Р(Г)] и Z[7г(Г, 4)] эквивалентны по Морите.
Доказательство. Ж[Р(Г)] как левый модуль над собой разлагается в прямую сумму проективных модулей Я, занумерованных вершинами графа Г. Р; имеет Ъ - базис из путей, оканчивающихся в вершине