О φ-структуре на ортогональных группах чётной характеристики и группах E6,7,8(q), 2E6(q)

• Автор: Елисеев, Михаил Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 86 с.

Глава 1. ^о-группы и леводистрибутивные квазигруппы
Глава 2. Ортогональные группы над конечными полями характеристики 2.

Глава 3. Централизаторы некоторых элементов в ортогональных группах.

§3.1. Централизаторы полупростых элементов
§3.2. Централизаторы инволюций
Глава 4. Группы Е61^(д), гЕ6(д) и ортогональные группы как группы
Шевалле
§4.1. Сведения о ортогональных группах и группах типа Е как группах
Шевалле
§4.2. Централизаторы инволюций в группах типа Е
Глава 5. ^теорема для ортогональных групп в четной характеристике
Глава 6. ^-теорема для групп Е61^(д), 2Еь(д) в четной характеристике
Глава 7. ^теорема для групп Е6(д), 2Е6(д) в нечетной характеристике
Список литературы

Приложение

Объектом изучения в данной диссертации являются конечные группы с дополнительной структурой, определяемой заданием на группе П автоморфизма (р, причем принадлежность элемента вида хср(х~х) подгруппе сопряженной с подгруппой ^неподвижных элементов влечет <р(х) = X . Далее такие группы называются (р-группами. По отношению к тождественному автоморфизму любая группа является ^»-группой, а потому нас будут интересовать группы с нетривиальной ^структурой.
В ^группе П выделяется нормальный делитель П1=<х<р(х~1)хеП> , порожденный так называемыми каноническими элементами, - главная подгруппа в П.
Целью работы является завершение доказательства следующего утверждения.
Теорема 0.1 (^-теорема). Главная подгруппа конечной ^группы П разрешима.
На примерах можно показать, что условия теоремы нельзя ослабить, скажем заменой конечной группы на бесконечную или главной подгруппы П на П.
Приведенная формулировка ^»-теоремы может показаться неестественной, а сама теорема — имеющей лишь частный интерес. В действительности это не так: ^-теорема достаточно глубока по содержанию и связана с рядом вопросов и проблем в теории конечных групп и некоторых неассоциативных объектов. Поясним это рядом замечаний. Во-первых частными случаями ^-теоремы являются (как будет показано в главе 1) утверждения о разрешимости конечных групп с регулярными автоморфизмами и о разрешимости конечных групп нечетного порядка (теорема Фейта-Томпсона). Известно, какие трудности пришлось преодолеть при доказательстве этих

теорем. В частности, разрешимость группы с регулярным автоморфизмом установлена лишь на основе классификации конечных простых групп. Оба утверждения на первый взгляд совершенно не связаны и удивительно, что они объединяются в ^-теореме.
Во-вторых ^-группы появляются при изучении любопытного неассоциативного объекта - леводистрибутивной квазигруппы. Под последней понимается алгебраическая система °) с бинарной операцией ° удовлетворяющей закону левой дистрибутивности а°{Ь°с) = (а°Ь)°(аос) . Предполагается также выполнимость и однозначность в О левого и правого «делений». Левая (или правая (а ° Ь) ° с = (а о с) ° (6 ° с) ) дистрибутивность появилась в математике давно - в 20-х годах ХХ-го века. Так в геометрии эта структура присутствует на так называемых симметрических пространствах. Последние являются римановскими пространствами, а результат операции х ° у на точках х,у некоторого пространства есть «отражение» у от х, сохраняющее риманову метрику. Можно также указать на появление этих объектов в алгебраической геометрии [9].
Леводистрибутивная квазигруппа (далее ЛДК) обладает достаточным запасом автоморфизмов, то есть является весьма «симметричным» объектом, а потому привлекательна для изучения. В частности, для любого элемента а автоморфизмом является левая трансляция Ьа = (х а ° х) . Сами левые трансляции порождают группу Ь(С) левых трансляций, являющуюся подгруппой (и даже нормальным делителем) в группе АЩ((/) всех автоморфизмов ЛДК.
Теперь ^-теорема может быть переформулирована в следующем виде (эта формулировка была первоначальной).
Теорема. 0.2. Группа левых трансляций конечной ЛДК разрешима.
Первым, кто обратил внимание на свойства группы левых трансляций Б. Фишер. Он рассматривал квазигруппы, обладающие как левой, так

Предложение 4.2. Имеют место изоморфизмы 1Е(Е6) = Б06 (2)
ще7) = г2-5р6(2), ще7) = г2■ зо8+ (2).
Доказательство. Элементы из IV(Е6) это ортогональные преобразования в Я6. В базисе из простых корней они представляются в виде целочисленных матриц. Приводя их по модулю 2 получаем преобразования в 6-мерном пространстве над Е2 . Они сохраняют форму 2 2
(2(х) = X, + Х2 + ...Х6 - Х1Х-} - Х3Х4 - Х2ХА - Х4х5 - Х5Х6 , где X = Х^ + х2е2 + + х3е3 + х4е4 + х5е5 + х5е5 + хье6 е Е.
Тогда IV(Е6) —> (2) - гомоморфизм. В его ядро могут входить
только преобразования ^н±г. По Бурбаки [4], преобразование, переводящее каждый вектор х в вектор (- х) не входит в ]У(Е6), поэтому указанное отображение есть мономорфизм. Сравнение порядков групп IV(Е6) и
2) и их совпадение, показывает, что это — изоморфизм, то есть ГГ(£6) = 506-(2).
Рассуждения для групп И7{Е7) и IV(Е8) аналогичны вышеприведенным. Матрицы, соответствующие элементам IV, преобразуются по модулю 2, затем определяется вид формы (2(х) • В случае Е7 все формы эквивалентны, в случае Е8 метрика плюсовая.
Имеем гомоморфизмы У(Е7)-*807(2) = 3Р(>(2), ЩЕ8)-> 30£(2). Здесь элементы, переводящие х в (- х) входят в IV [4], поэтому оба гомоморфизма имеют ядро Х2. Сравнение порядков рассматриваемых групп
показывает, что (Е7 ) = Z2 • 5рб (2), IV(Е7 ) = 22- 308 (2). ■
Как уже упоминалось выше, при доказательстве ^»-теоремы важную роль играет строение автоморфизмов.
Автоморфизмы групп Шевалле описываются следующим образом. Выделяются четыре типа автоморфизмов: внутренние (сопряжение эле-