Групповые подсхемы редуктивных групп

• Автор: Сопкина, Екатерина Александровна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 52 с.

Глава 1. Связные групповые подсхемы
1.1. Предварительные сведения
1.2. Основной результат
1.3. Квази-замкнутые множества корней
1.4. Гладкие групповые подсхемы
1.5. Морфизм Фробениуса
1.6. Построение связных групповых подсхем
1.7. Свойства связных групповых подсхем
1.8. Редукция к алгебраически замкнутому полю
1.9. Приведенная подсхема
1.10. Подгруппы редуктивной группы над кольцом
1.11. Функция <р
Глава 2. Нормализатор
2.1. Основной результат
2.2. Пересечение с нормализатором тора
2.3. Построение групповых подсхем
2.4. Свойства групповых подсхем
2.5. Пара (И7, ф)
2.6. Пересечения
Заключение
Список литературы
Тема настоящей работы относится к структурной теории алгебраических групп. С середины прошлого столетия и по сей день линейные алгебраические группы находятся в центре внимания математиков. На эту тему опубликованы многие сотни статей, а монографии, в которых излагаются основы этой теории и среди которых можно назвать работы А. Бореля [25], Т. Спрингера [47], Дж. Хамфри [34] и других, многократно переизданы и давно стали классикой математической литературы.
Прежде чем переходить непосредственно к обсуждению настоящей работы и связанных с ней результатов, обрисуем коротко возникновение и развитие теории редуктивных групп.
Структурная теория линейных групп
Основы современной теории алгебраических групп были заложены в 50-е годы XX века, когда были опубликованы знаменитые статьи Э. Колчи-на [38, 39], К. Шевалле [30, 31] и А. Бореля [25], синтезировавшие методы теории групп Ли, абстрактной теории групп и алгебраической геометрии.
В своих работах [38, 39] Э. Колчин изучил строение коммутативных алгебраических групп, в частности, торов, и разрешимых алгебраических групп (теорема Ли—Колчина), а также свойства замкнутых подгрупп, компоненты связности единицы и др. При этом все доказательства были проведены на языке алгебраической геометрии, без использования алгебр Ли, и не зависели от характеристики основного поля. Этот же подход позднее использовал А. Борель [25].
В книгах К. Шевалле [28, 29] алгебры Ли, группы Ли и алгебраические группы изучаются совместно. В этих книгах рассматриваются такие важные понятия, как разложение Жордана, подгруппа Картана и др. Большую роль играет переход от алгебры Ли группы к самой группе с помощью формальной

экспоненты, что, в частности, вынуждает рассматривать только поля характеристики ноль. В статье К. Шевалле [30] была предложена универсальная конструкция простых групп всех типов над произвольным полем. В действительности, в этой статье была построена групповая схема над Ъ, которая в настоящее время называется групповой схемой Шевалле—Демазюра. Ключевой идеей этой конструкции является выбор базиса Шевалле в полупростой комплексной алгебре Ли.
После классификации полупростых алгебраических групп, завершенной в работе К. Шевалле [31] в 1956 году, теория алгебраических групп во многом стала теорией полупростых алгебраических групп, или, более общо, ре-дуктивных групп. Универсальный язык схем, разработанный в 1950-е годы А. Гротендиком, сделал возможным широкое обобщение результатов об алгебраических группах над полями. В частности, в БСА [44] М.Демазюр и А. Гротендик перенесли на редуктивные групповые схемы результаты К. Шевалле [30, 31].
К настоящему времени теория линейных алгебраических групп — это обширная область математики, включающая в себя широкий круг взаимосвязанных вопросов, относящихся к описанию различных подгрупп, автоморфизмов, разложений, связанных с проблемами порождения и многих других. Не имея возможности охватить их все, мы сосредоточимся на направлении, связанном с описанием промежуточных подгрупп в линейных группах. Надгруппы максимального тора
Прежде чем перейти к обсуждению основных результатов данного направления исследований, напомним необходимую терминологию. Пусть Т — подгруппа в группе (7, и пусть выделен естественный класс {С?(сг) ] сг 6 К} промежуточных подгрупп Т < С(сг) < (7. Предположим, что для любой подгруппы Я такой, что Т < Я < (7, найдется единственная такая группа 6'(о), что
ад < я < яс(ад).

[28] Chevalley C., Théorie des groupes de Lie II. Groupes alg’ebriques, Hermann, Paris, 1951.
[29] Chevalley C., Théorie des groupes de Lie III. Groupes algébriques, Hermann, Paris, 1954.
[30] Chevalley C., Sur certaines groupes simples, Tôhoku Math. J. 7 (1955), pp. 14-66.
[31] Chevalley C., Classification des groupes algébriques, Séminaire École Normale Supérieure 1956-1958, Secrétariat de Mathématiques, Institut Henri Poincaré, Paris (1958).
[32] Demazure M. Gabriel P., Introduction to algebraic geometry and algebraic groups, North-Holland, Amsterdam, 1980, 357 p.
[33] Djokovic D.Z., Subgroups of compact Lie groups containing a maximal torus are closed, Proc. Arner. Math. Soc., 83:2 (1981), pp. 431-432.
[34] Humphreys, J. E., Linear algebraic groups, New York: Springer, 1975, 247 p.
[35] Jantzen J. C., Representations of algebraic groups, 2nd éd., Amer. Math. Soc., Providence, 2003, 576 p.
[36] King O., Subgroups of the special linear group containing the diagonal subgroup, J. Algebra, 132 (1990), pp. 198-204.
[37] Knop F., Homogeneous varieties for scmisimple groups of rank one, Comp. Math. 98 (1995), pp. 77-89.
[38] Kolchin E., Algebraic matric groups, Proc. N. A. S. 32 (1946), pp. 306-308.
[39] Kolchin E., The Picard - Vessiot theory of homogeneous linear ordinary diffrential equations, Proc. N. A. S. 32 (1946) pp. 308-311.