Применение моделей Крипке к исследованию суперинтуиционистских и модальных логик

• Автор: Шехтман, Валентин Борисович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 100 c. : ил

ОБОЗНАЧЕНИЯ

ГЛАВА I. СТРОЕНИЕ УНИВЕРСАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ КРИНКЕ

§ I. Суперинтуиционистские И модальные ЛОГИКИ

§ 2. Модели Крипке

§ 3. Универсальные модели Крипке и свободные алгебры

§ 4. Универсальные модели для £>4 Кг?

§ 5. Универсальные модели для № ГГ)

§ 6. Оценки функций роста

§ 7. Универсальные модели финитно аппроксимируемых логик

ГЛАВА 2. НЕРАЗРЕШИМЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

§ 8. Кодирование полусистем Туэ

§ 9. Леммы о подъеме и спуске
§ 10. Доказательство теоремы сведения
ЛИТЕРАТУРА

Теория яеклассических логик возникла в начале XX в., когда классическая логика была подвергнута критике с различных позиций. Концепция "интуиционизма", выдвинутая Брауэром (1908), основывалась на конструктивном понимании логических связок, которое не имеет аналога в классической логике. Различные уточнения понятия "конструктивный" привели к логикам, в которых нарушался закон исключенного третьего: интуиционистской логике и ее расширениям (суперинтуиционистским логикам). Исследование этих логик становится актуальной задачей после создания в 30-х гг. теории алгоритмов. (См. Марков М).
Другой подход заключается в том, чтобы изучить средствами математической логики связки естественного языка, которые в классической логике не отражаются: необходимость, возможность, контр-гоактическую импликацию ("если бы..., то..."), временные связки ("всегда будет", "когда-то было", "вчера", "завтра") и проч. На этом пути возникли модальные логики (Лыоис, 10-е - 20-е гг.), временные логики (Прайор, 50-е гг.), релевантные логики (Андерсон-Белнап, 60-е гг.), интенсиональные логики (Монтегю, 60-е гг.) и др.
Постепенно обнаружилось, что неклассические логики различных типов связаны и между собой, и с другими разделами математики.
Так, суперинтуиционистские логики с помощью перевода Гёделя - Тарского {ОбЛеР [I]-, Ме.ксп^^~1а-г.%1сс [3]) можно трактовать как фрагменты модальных логик; при этом интуиционистскому исчислению высказываний соответствует исчисление Льюиса $4 . Т.наз. квантовые логики (предложенные в 30-х гг. для логического анализа квантовой механики), как недавно выяснилось (Дишкант [I]), можно погрузить в расширения "модальной логики Брауэра". Временные логики (которые

являются обобщением модальных) погружаются в модальные (7у6>/п<«ол [4]), а логики предикатов второго порядка - во временные логики С ТЯотазог) £ В модальной логике отражаются некоторые типы рассуждений теории доказательств С"диагональный метод" Гёделя); при этом необходимость понимается как "доказуемость", а возможность - как "непротиворечивость" (идея такой интерпретации восходит к Гёделю).
В последнее время ведется активное изучение модальных "логик доказуемости" (Кузнецов, Муравицкий [I]; Артемов [I]; [I];
М^охС [г]).
Неожиданная аналогия между модальным исчислением (в формулировке Гёделя) и аксиоматикой топологических пространств по Куратовскому привела Тарского и (независимо) Тана в 1938 г. к топологической интерпретации модальных логик: классические связки интерпретируются по Булю, а связки "необходимо", "возможно" - соответственно, как "внутренность" и "замыкание". Сходная идея лежит в основе "прагматической" семантики Монтегю для интенсиональных логик (Г968). Топологическая семантика применима и к суперин-туиционистским логикам, благодаря переводу Гёделя - Тарского; здесь формулам соответствуют открытые подмножества топологических пространств.
Семантика возможных миров, введенная Крипке в 1959 г., связала теорию неклассических логик с теорией частичных порядков и теорией бинарных отношений. Позднее оказалось, что метод вынуждения Коэна, применяемый в доказательствах независимости в классических математических теориях, основан на той же идее, что и семантика Крипке ("возможные миры" являются аналогами "вынуждающих условий") - см. Рс ш.

| I

Модель (указаны цвета точек)

•10 01 00 10 00 01 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00

Модель и„1=-1Хоо>Хо1,Х1С^Х.и},Г'Де ■
и? = ^оо1и{ЦхОн,ад,01)Л^,о,х^,ю)у
фРЧа!<»11оои{><ю^О0)Д{.Хн},00-)/1Х<(},ОЦС1><И«)3:
^ а - и 11т
Для точек Ц указаны только цвета.