Поведение аргумента дзета - функции Римана на критической прямой

• Автор: Королёв, Максим Александрович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 88 с.

Введение З
Обозначения

Глава I. Плотностная теорема для нулей дзета-функции Римана

§1 Вспомогательные утверждения

§2 Основные леммы

§3 Доказательство плотностной теоремы

Глава II. Поведение аргумента ((б) на критической прямой

§1 Вспомогательные утверждения

§2 Основные леммы

§3 Моменты функций 5(1) и 5Д1 + К) — 5і(1)

§4 Число перемен знака 5(1)

§5 Распределение значений функций |5(1)| и |5і(1 + її) — 5і(1)|
Список литературы
Введение
В теории дзета - функции Римана C(s) большое внимание уделяется изучению её аргумента на критической прямой Res = 1/2, который обозначается символом S(t) (см. Ki, К2, Kopj - Кор4, BL, Fi - F5, Ghb Gh2, Go, Gr, Iv, Liti, Lit2, Mi - М3, Mosi, Mos2, Mu, O, RSi - RS4, Si -S4, Ti - T4, Tsi - Ts3 ). По определсчнпо, при t, отличном от ординаты нуля C(s),
5(f) = iargc(^ + ii).
Под arg£(l/2 + it) понимается значение, которое получается непрерывным продолжением arg£(s) вдоль ломаной линии с вершинами в точках s = 2 (argC(2) = 0), s = 2 + it и а = 1/2 + it. В случае, когда t совпадает с мнимой частью одного из нулей C(s), S(t) определяется как предел значений S(t + h) при /г, стремящихся к нулю справа:
S(t) = fcUmoS(t + h) = S(t + 0).
Определённая таким образом функция S(t) при t > 0 имеет разрывы, ф которые совпадают со значениями ординат мнимых нулей C(s)- При пе-
реходе через точку, которая является ординатой для то различных нулей C(s) с кратностями Ат,..., кт, S{t) совершает скачок, равный сумме этих кратностей, т.е. к^+... + кт.
Формулой Римана - Мангольдта S(t) связана с функцией N(t), выра-жающей число пулей С(s) и области 0 < Res < 1, 0 < Ims < t. Согласно этой формуле

• +оо •
. t ( 1 N 1 1 t f р(и) du
6(t) = - In ( 1 + — I + - arctg- / ----------,
4 V 4t2J 4 b2t 2 J (u + l/4)2 + t2/
a p(u) = 1/2 — {u}.
Поскольку S(t) - непрерывно дифференцируемая функция и при t —> +00 S (t) = 0(t~2), то из формулы Римана - Мангольдта следует, что на всяком промежутке вещественной оси, не содержащем ординат нулей

£(s), N(t) постоянна, a S(t) является монотонно убывающей функцией с производной, равной
_J_ln± + 0(r2).
2- 2- ' '
Одной из первых и этой области возникла задача о нахождении правильных по порядку оценок величин
n 'inf.S(t) и sup S(t) (1)
О < t о <(
при Т —> +оо. До настоящего времени эта проблема не получила окончательного решения. Оценка
S(i) = 0(1.1 г), ■ (2)
вытекающая из простейших теорем о нулях С(s) (ВК, с. 44-46), является нанлучшей. Гнпотеза Линделёфа позволяет заменить символ О в (2) на о, а из гипотезы Рнмана следует неравенство
,5(г)| < 1,2 БТЫТ
(см. RSi).
В ходе больших вычислений, произведённых А. Одлыжко, не было обнаружено ни одного значения 1, для которого |5(1)| > 3 (см. О, с. 127). Между тем известно, что 5(f) может принимать сколь угодно большие по абсолютной величине значения разных знаков. Так, в 1935 г. Е.К. Титчмаршем Тг было установлено неравенство

i JS(t)2dt>lnnT, о
из которого следует существование последовательности чисел {^}, j = 1,2,..., tj —> +оо, таких, что
[5(tj)| > Aiv'lnlnt,-, А > 0, j = 1,2,...,
т.е.
5(1) = (Vbbf ^ .

СО - ІТ) = X т- а+т + дР1-2а+2гТі ]Г тп<’~1~ ІТі + 0(Х~ °'2 ),
га^Рг т^Рі
где Рі = Р//3> -О = Р//Р, а і? = е'(-/4+г). Перемножим эти равенства почленно и воспользуемся оценкой
|СО + іТі) « Х1/в,
справедливой при и 0,5 (см. Тз, с. 117-119). Так получим:
|СО + &'і)| 2/ЗІТі = + Р2(1-2сг>52 + Р1_2сг(^Ё1 + г?Ё2)) + 0(А'-1/3°),

5і = 52 51 (тп) 17 Г тАІГі П )
п<Рі т^Рг /ь у
^ = X X (тпУ 1 ( ^Г, 777. /
т^Рі п^Рг
X "і"-1«-' т, '(5) гТх , ^ =
Область изменения т н п в сумме б) разобьём на 5 частей: т/3 = п, т/3 < п ^ т/3(1 + Д), гг < т/3 ^ п(1 + Д), т/?( 1 + Д) < гг и т/3 > п(1 + Д). Используя обозначения леммы 9, представим /?1 в виде
5*1 — Иг + //^(Аъ + Из) + А 4- А5,

А= X (тп)~‘’>
п^Рг, т^Рг т(3=п
А2=Х ^Огп)_<7Ф(т,п;/3) (—) = И'О.Ть/З),
т^Рг п^Р1 ^
А3=Х (тп)-‘ТФ(п,т;/3"1) ‘ = Щс^Ть/Г1),
п^Рх т^Р