Торические вырождения многообразий Фано

• Автор: Галкин, Сергей Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 121 с.

1 Основные понятия

1.1 Обозначения

1.2 Особенности

1.3 Многообразия

1.4 Торические многообразия и многочлены Лорана

1.5 Вырождения

1.6 Классификация многообразий Фано

1.6.1 Поверхности дель Пеццо

1.6.2 Трёхмерные гладкие многообразия Фано

1.6.3 Торические многообразия Фано

1.7 Теория Громова-Виттена

1.7.1 Определения
1.7.2 Примеры
1.8 Многообразия Грассмана и их спектры
2 Торические поверхности дель Пеццо и пучки эллиптических кривых с низким ветвлением
2.1 Эллиптические поверхности
2.2 Модели Ландау-Гинзбурга для поверхностей дель Пеццо
2.2.1 Модели Хори-Вафы
2.3 Монодромия
3 Малые торические вырождения трёхмерных многообразий Фано
3.1 Введение
3.2 Утверждение
3.3 Доказательство
3.4 Описание торических вырождений гладких трёхмерных многообразий Фано
3.5 Следствия
3.6 Обобщения
3.7 Вычисление

А Публикации по теме диссертации

История вопроса
В диссертации даётся ответ на ряд вопросов, постановка которых мотивирована подходом к изучению многообразий Фано (и возможности их классификации) с помощью методов торических вырождений и зеркальной симметрии.
Классификация кривых была получена ещё в 19 веке — у каждой кривой над алгебраически замкнутым полем есть единственная бирациональ-но эквивалентная ей полная неособая модель, а единственный численный инвариант кривой — это её род д, который может принимать любое целое неотрицательное значение. Более разнообразен случай поверхностей: по любой неособой поверхности 5о можно построить её минимальную модель 5, последовательно стягивая (—1)-кривые. Минимальная поверхность 5 — неособая поверхность, бирационалыю эквивалентная £>Ь, и существуют три взаимно исключающие возможности: либо канонический класс численно эффективен (то есть его индекс пересечения с классом любой эффективной кривой неотрицателен), либо 5 — это проективная плоскость ІР2, либо поверхность в обладает структурой Р1-расслоения над некоторой базовой кривой В.Поверхность 5 рациональна, если рациональна базовая

Следствие 1.5.25. Антиканоническая степень (—Х4)а1шХ( не зависит от t £ А.
Теорема 1.5.26 ([28]). Всякое трёхмерное нодальное многообразие Фано Хо имеет сглаживание тг : X —» А, у которого общий слой Х^ при t ф О является гладким многообразием Фано.
Теорема 1.5.26 имеет обобщение
Теорема 1.5.27 ([71]). Всякое трёхмерное горенштейново многообразие Фано Х0 с терминальными особенностями имеет сглаживание тт : X —» А, общий слой Хг^0 которого является гладким многообразием Фано.
Определение 1.5.28 ([4]). Вырождение (сглаживание) тг называется малым, если Хо имеет лишь горенштейновы терминальные особенности (см. 1.2), и для всякого £ е Д морфизм г : Рю(Х) —> Рш(Х£) является изоморфизмом.
Предложение 1.5.29. В случае многообразий (почти) Фано, малость вырождения эквивалентна совпадению двух пар чисел (р,д) (число д определено в 1.3.12):
р{Хо) = р(Х4)
ДХ0) = д(Хь)
Доказательство. Ограничение всегда изоморфизм, и инъективность ъ верна всегда (см. 1.5.18). Обе группы Рю(Х4) и Рю(Х) являются решётками конечного ранга (1.3.6). Таким образом, равенство р(Х,о) = р(Х()