Действия групп на компактных однородных пространствах с открытой орбитой

• Автор: Девятов, Ростислав Андреевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 120 с.

Оглавление
1. Введение

1.1. Актуальность темы

1.2. Степень разработанности темы

1.3. Цель работы

1.4. Научная новизна

1.5. Теоретическая и практическая ценность

1.6. Методы исследования

1.7. Степень достоверности и апробация результатов

2. Предварительные сведения

2.1. Соглашения и обозначения
2.2. Автоморфизмы однородных пространств
3. Действия на кратных однородных пространствах
3.1. Сведение задачи к случаю простой группы С
3.2. Наличие открытой орбиты
3.2.1. Группа С типа Д, / >
3.2.2. Группа б? типа Д, / >
3.2.3. Группа С? типа Д, I >
3.2.4. Группа С? типа Д
3.3. Конечность числа орбит

4. Действия коммутативной унипотентной группы с открытой орбитой
4.1. Сведение задачи к случаю простой группы С
4.2. Сведение задачи о (О.) "•-действиях к задаче об умножениях
4.3. Общие сведения об умножениях, согласованных с действием алгебры
4.4. Существование умножений, согласованных с действием алгебры .
4.4.1. Алгебра I типа Лі
4.4.2. Алгебра [ типа Ві и £);
4.4.3. Алгебра I типа Сі (I > 2)
4.4.4. Алгебра [ типа Е&
4.4.5. Алгебра I типа Ег
4.4.6. Алгебра [ типа Е$
4.4.7. Алгебра ( типа F
4.4.8. Алгебра ( типа С
4.4.9. Классификация умножений с точностью до действия группы А
4.5. Классификация локально транзитивных (Са)т-действий на однородных пространствах
4.5.1. Группа С? типа Аі, Р = Р или Р — Рі
4.5.2. Группа (7 типа Аі, Р = Рі, 1 < і < І
4.5.3. Группа Є не типа Аі

Глава
Введение
1.1. Актуальность темы
Диссертация посвящена изучению действий различных групп с открытой орбитой на некоторых компактных однородных пространствах. Все алгебраические многообразия рассматриваются над полем комплексных чисел.
Однородное пространство алгебраической группы (7 — это алгебраическое многообразие X, снабжённое транзитивным действием группы (3. Основные результаты об однородных пространствах аффинных алгебраических групп содержатся в книгах [4] и [5]. Любое однородное пространство изоморфно (точнее, С'-эквивариантно изоморфно) фактору группы С по некоторой подгруппе Р (обычно обозначаемому О/Р). В случае, когда группа (7 связна и редуктив-на, можно показать, что многообразие О/Р полно (или, что то же, компактно в классической топологии) тогда и только тогда, когда подгруппа Р параболическая, т. е. содержит некоторую борелевскую подгруппу. В частности, в этом случае группа Р содержит центр группы (7, поэтому он тривиально действует на многообразии С/Р, и многообразие С/ Р также является однородным пространством связной полупростой части группы С. Поэтому далее мы будем говорить о многообразиях вида С/Р, где <7 — некоторая связная полупростая алгебраическая группа, аРС(? - некоторая параболическая подгруппа.

Выберем в тавтологическом ОД-і-модуле базис /і,..., fi-.
Поскольку / — 1 нечетно, максимальный ранг (кососимметрического) тензора w Є V равен I — 2, и тензоры такого ранга образуют открытое подмножество. Это подмножество L-инвариантно, поэтому далее будем считать, что rk«i = I — 2. Тогда к точке (щ,112,113) Є и можно применить такой элемент группы GLi-1, что тензор щ перейдёт в тензор и = /і А /2 + /з А /4 + ■ • ■ + /г-з Л /;_2. Обозначим образ всей точки (щ,и2,из) Є и под действием этого элемента за (и[,и'2,и'3).
Любой тензор w Є V ранга 1 — 2 определяет (вырожденные) кососимметрические формы на пространствах V2* и V3, ядра этих форм имеют размерность 1. Рассмотрим подпространство Xw = (kerw)1- С V2, на котором все линейные функции из этого ядра обращаются в ноль. Аналогично обозначим Yw = (kern;)-1 С V2. Условия и2 ^ XUl и из ^ YUl открыты и L-инвариантны, и далее мы будем считать, что они выполнены. Тогда и'2 Хи>, последняя координата вектора и'2 Є V2 в выбранном выше базисе не равна нулю, и существует матрица вида
которая переводит вектор и2 в вектор и2 — /і—і■ Заметим, что любая матрица вида (*) сохраняет тензор и. Обозначим вектор, в который эта матрица переводит вектор и'3, за и3.
Далее, рассмотрим подгруппу группы Ь, состоящую из всех матриц вида

Л ^0.

... О А у
(diag(A,A),A х), А Є Др;-2, А ф 0.
Она сохраняет тензор и[ и вектор и2. Выше мы предположили, что из ^ поэтому и'1 ^ Уи>, и последняя координата вектора и3 в выбранном выше базисе