Явные конструкции в теории формальных групп и конечных групповых схем и их приложения к арифметической геометрии

• Автор: Бондарко, Михаил Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 225 с.

Введение. Формулировка основных результатов

Обозначения и соглашения

1 Основные определения: формальные группы и их модули Картье; модули Оорта групповых схем. Классификационные результаты Хонды

и Хазевинкеля

1.1. Основные понятия теории формальных групп

1.1.1. Формальные группы, их гомоморфизмы, (строгие) изоморфизмы

1.1.2. Формальные группы в характеристике ноль

1.2. Модули Картье-Дьедонне

1.2.1. Кольцо Картье; функтор Картье

1.2.2. Модули Дьедоние в характеристике р; свойства редукции

1.3. Модули Оорта

1.4. Определение и свойства универсальных коммутативных формальных групповых законов
1.4.1. Криволинейные и р-типические группы
1.4.2. Универсальные формальные групповые законы и их свойства
1.5. Классификация формальных групп над неразветвленными кольцами
2 Вспомогательные результаты
2.1. Определение и свойства ст-полей. Основная структурная теорема
2.2. Ограничение скаляров для формальных групп
2.2.1. Обозначения и терминология
2.2.2. Лемма Ионеды и групповые объекты в категориях; представимые функторы
2.2.3. Понятия расширения и ограничения скаляров
2.2.4. Основные результаты об ограничении скаляров
2.2.5. Доказательства
2.2.6. Формулы
2.3. Главная матричная лемма

2.4. Формальный групповой закон Ра
2.5. Вложение схем в р-делимые группы
3 Представители в классах строгой изоморфности формальных групп
3.1. Формулировка
3.2. Определенность формальной группы над подкольцом
3.3. Поведение классов строгой изоморфности формальных групп при гомоморфизмах колец
3.4. Канонические представители в классах изоморфности над неразветвлен-ными кольцами
4 Классификация формальных групп
4.1. Логарифмическая матрица
4.1.1. Примененение методов Хонды в сочетании с ограничением скаляров
4.1.2. Построение матрицы
4.1.3. Основные свойства логарифмической матрицы
4.1.4. Инвариантные модули Картье-Дьедонне
4.2. Дробные части; классификация с точностью до изогении
4.2.1. Представление Л в виде дроби во вполне разветвленном случае
4.2.2. Определение дробных частей
4.2.3. Образ логарифмической матрицы на рациональном уровне
4.2.4. Главная теорема о’дробных частях’
4.2.5. Следствия из теоремы
4.2.6. Гомоморфизмы одномерных групп
4.2.7. Представление Л в виде дроби в общем случае
4.2.8. Связь и с редукцией Г1
4.3. Свойства инвариантных модулей Картье(-Дьедонне)
4.3.1. Категория £)-модулей
4.3.2. Эквивалентность двух определений IV
4.3.3. Основные свойства
4.3.4. Замена основного поля
4.3.5. Свойства образов инвариантных модулей Картье при Г-линейных отображениях
4.3.6. Свойства Ир для не-р-типичсскнх формальных групп
4.4. Модульный инвариант
4.4.1. Вложение инвариантных модулей Картье в пополненные модули рядов
4.4.2. Определение и основные свойства модульного инварианта
4.4.3. Свойства Мр для групп конечной высоты. Алгоритм для классификации формальных групп

4.4.4. Классификация для е < р
4.4.5. Классификация формальных групп для е < р2/2
4.4.6. Применение к свойствам инвариантных модулей
4.5. Свойства пополнения в терминах модулей Картье; связь с теорией Фонтена
4.5.1. Описание пополнения на "инвариантном" языке
4.5.2. Сравнение с теорией Фонтена
5 Конечные групповые схемы
5.1. Некоторые новые понятия и результаты в теории модулей Картье
5.1.1. Замкнутые подмодули; разделенные модули
5.1.2. Связь разделенных модулей с групповыми схемами
5.1.3. Инъективные модули Картье формальных групп
5.1.4. Свойства инъективных модулей Картье
5.1.5. Поведение модулей Оорта при расширении колец
5.1.6. Утверждения о модулях Картье, связанных с редукцией
5.2. Основная классификационная теорема для групповых схем; расширения
групповых схем
5.2.1. Формулировка теоремы
5.2.2. Доказательство необходимости в теореме 5.2
5.2.3. Доказательство достаточности в теореме 5.2.1: построение некоторой формальной группы
5.2.4. Существование формальной группы конечной высоты
5.2.5. Завершение доказательства частей I и II
5.2.6. Доказательство достаточности в теореме 5.2.1, часть III
5.2.7. Расширения групповых схем
5.3. Касательное пространство групповой схемы
5.3.1. Определение; выражение в терминах модуля Оорта
5.3.2. Размерность групповой схемы
5.4. Некоторые вспомогательные результаты
5.4.1. Связь замкнутых подсхем с общим слоем
5.4.2. Сведение теоремы 0.0.3 к р-делимым группам
5.4.3. Сведение к связной компоненте
5.5. Доказательство основных утверждений про общий слой групповых схем
5.5.1. Ядро редукции
5.5.2. Коядро редукции
5.5.3. Доказательство предложения 5.4
5.5.4. Усиление теоремы 0.0.3 в случае, когда 5 связна
5.6. Приложения теоремы 0.0
5.6.1. Доказательство теоремы 0.0

компонента которого равна I, является замкнутым вложением групповых схем, поэтому задает замкнутое вложение т : Т —» У; обозначим коядро тп через Z, г : У —у Z. Задано естественное отображение д : и —> У. Так как г о с/ос = 0, также задан морфизм h:V-yZ. Тогда диаграмма
и У
' 1*
у —и
будет ИСКОМОЙ. При этом если схемы 5,Т связны, ТО МОЖНО ВЗЯТЬ и, 1У, V, являющиеся формальными группами конечной высоты (т.е. связными р-делимыми группами), а тогда группы У, Z также связны. □
Заметим, что когда — изоморфизм, д в нашем построении инъективен (на общем слое).