О сферических и сверхсферических подгруппах полупростых групп Ли

• Автор: Зорин, Арсений Александрович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 55 с.

Содержание
1 Введение

1.1 Сферические и, слабо симметрические подгруппы редуктивных групп Ли

1.2 Сверхсферические и коизотропные подалгебры полупростых алгебр Ли

1.3 Действие центра коизотропной подалгебры в неприводимом представлении полупростой алгебры

1.4 Структура работы

1.5 Обозначения

1.6 Благодарности

2 Связь сферичности и слабой симметричности нередуктивных

подгрупп редуктивных групп Ли

2.1 Два критерия слабой симметричности

2.2 Доказательство теоремы
2.3 Контрпримеры
2.4 Связь с коммутативными однородными пространствами
3 Коизотропные подалгебры полупростых алгебр Ли
3.1 Основные используемые определения и сведения про
пуассоновы многообразия
3.2 Геометрический критерий коизотропности
3.3 Некоторые сведения об индексах алгебр Ли
3.4 Редуктивные подалгебры малых корангов в алгебре 5Іп+і
3.5 Нередуктивные коизотропные подалгебры в простых
алгебрах Ли
3.6 Нередуктивные коизотропные подалгебры с тривиальной группой характеров в полупростых алгебрах Ли
4 Сверхсферические подалгебры полупростых алгебр Ли
4.1 Доказательство теоремы
4.2 Структура централизаторов коизотропных подалгебр в
универсальной обертывающей алгебре
5 Действие централизатора коизотропной подалгебры в
неприводимом представлении простой алгебры Ли

Литература
1 Введение
Диссертация посвящена сферическим и сверхсферическим нередуктивным подгруппам полуиростых групп Ли.
1.1 Сферические и слабо симметрические подгруппы редуктивных групп Ли
Основным полем является поле комплексных чисел. Пусть G — связная редуктивная комплексная алгебраическая группа, Н — алгебраическая подгруппа в G и X — алгебраическое многообразие. Открытые и замкнутые множества рассматриваются в топологии Зарис.ского.
Определение 1.1. Действие G : X группы G на многообразии X называется сферическим, если борелевская подгруппа группы G имеет в пространстве X открытую орбиту. В таком случае пространство X также называется сферическим. Подгруппа Я называется сферической, если сферическим является однородное пространство X — G/Н относительно действия G левыми сдвигами.
Если Я - редуктивная подгруппа, то однородное пространство X — G/Н является аффинным. Сферические пространства в этом случае хорошо исследованы. Подгруппа Я является сферической тогда и только тогда, когда спектр действия группы G левыми сдвигами на пространстве полиномиальных функций С[Х] имеет простой спектр [20]. В силу двойственности Фробениуса это свойство эквивалентно тому, что размерность пространства VH Я-инвариантных векторов в любом неприводимом представлении р : G —У GL(V) группы G не превосходит
1. Получена полная классификация сферических подгрупп полуиростых алгебраических групп [7], [26], [3]. Она эквивалентна классификации всех аффинных сферических пространств.
Определение 1.2. Однородное пространство X = G/Н группы G по подгруппе Я называется слабо симметрическим, если существует такой автоморфизм а группы G, что сг{Н) = Я, а2 Е Int G и
а(д) € Нд'1Н
для почти всех элементов д группы G, то есть для всех д из некоторого плотного открытого подмножества группы G.
Понятие слабо симметрического пространство было введено в 1956г. Сельбергом в работе [15], посвященной формуле следа, для компактных

есть сумма своего центра с и некоторого неприводимого подпространства V: Ё)„ = с © V, причем [V, V] — с. Если I) = s ® с, то f} не удовлетворяет равенству (*). Следовательно, I) = s ® р„ и Ї) = [р, р]. Получаем, что Ї) = д„ -стабилизатор старшего вектора в стандартном представлении алгебры д. Как было показано выше все такие подалгебры являются коизотропными.
Получаем полный список пар (д, fj), где подалгебра fj имеет полупростую подалгебру Леви и коизотропна: (sln, (зЁ„)г,), (so„, {son)v), (-Spn, (sp„)„).
Пусть теперь Ё s. Тогда зЕ — £ fl 3 ф 0 и Ё не является полупростой. Положим Ё' = [6,6], f)' = Ё'фЁ)“ (вообще говоря, I)' не совпадает с коммутантом алгебры ()). Подалгебра Леви алгебры Ё/ совпадает с £' и полупроста.
Пусть (g, р) — (scn, (son)). Тогда зЕ = 3, поскольку центр 3 одномерен. Будем считать, что f)u = ри Рассмотрим (1)“)* как Ё- и Ё'-модуль. Легко видеть, что стабилизаторы Ё и Ё точки £ Є (I)“)* общего положения сопадают. Следовательно, ind (£, (!]“)*) = ind (I)")*) — 1. Таким образом, по теореме Раиса имеем: ind Ё) = ind f)' — 1. Так как dim Ё) = dim f)' + 1, то corkp [) — cork0 і)'. Следовательно, подалгебра )' должна быть коизотропна в д. Таким образом, Ё)' = [р, р] и Ё) = р. Приходим к уже упомянутой паре.
Пусть (д,р) = (зр„, (3pn)). Тогда зЕ = 3, поскольку центр dim
1. Алгебра р имеет вид р = р(0) ф р(1) ф р(2), где р(0) - подалгебра Леви, р(1) ф р(2) - унипотентный радикал, р(2) - его центр. Алгебра І) наследует градуировку с градуировки алгебры р. Будем считать, что Ё)и = р" Рассмотрим Ё)(2)* как Ё- и Ё'-модуль. Стабилизаторы Ё и точки £ Є f}(2)* общего положения сопадают. Следовательно, ind (Ё, Ё}(2)*) = ind (£', Ё)(2)*) — 1. Таким образом, по теореме 3.8 имеем: ind I) = ind f)' — 1. Так как dim f) = dim f)' + 1, то cork0 Ь — corkB Ё)'. Следовательно, подалгебра 1)' должна быть коизотропна в д. Таким образом, f)' = [р,р] и Ё) = р. Приходим к уже упомянутой паре.
Пусть (g,p) = (s[n+i,p(aiittj). Пусть п > 3. Как и выше, на
алгебре Ё) есть градуировка fj = ї)(0) ф Ё)(1) ф Ё|(2). Если зЕ ф 3 и Зе ф {(п - 1)Ец - 2(Ео2 + ... + Епп) + (n - l)JE?n+i.„+i), то аналогично рассуждениям в предыдущем абазаце получаем, что Ef = Ё( и подалгебра Ё)' коизотропна в д. Но в алгебре р(а1,а„) не существует коизотропных подалгебр с тривиальной группой характеров. Следовательно, если п > 3, то зЕ — 3 или Зе — ((n ~ 1)-Eii — 2(22 + + Епп) + (п — 1)Еп+і!П+і).
Далее, из неравенства (9) имеем, что
dim 5 — dim £' — rk s — rk Ё' < 2dim зЕ. (3-11)
Отметим, что правая часть ire превосходит 4 и s = 5Ё„_х. Все редуктивные