Дифференциально простые альтернативные и йордановы алгебры

• Автор: Попов, Александр Александрович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 71 с.

Оглавление
Введение
1 Предварительные сведения
§1 Дифференциально простые алгебрі)!
§2 Альтернативные алгебры
§3 Иордановы алгебры
2 Дифференциально простые альтернативные алгебры
§1 Случай характеристики
§2 Случай характеристики р
3 Дифференциально простые йордановы алгебры
§1 Случай специальных алгебр
§2 Случай исключительных алгебр характеристики
§3 Случай исключительных алгебр характеристики р > 2
4 О свободе дифференциально простых алгебр как модулей над
своими центрами
§1 Построение примеров в альтернативном и йордановом случае
§2 Общий подход к примерам с использованием супсралгебр
Литература

Введение
Как известно, основным вопросом в теории колец является описание простых колец (алгебр). В классификацию простых альтернативных алгебр основополагающий вклад внесли А.И. Ширшов, Р. Брак, Л.А. Скорняков, М. Слейтер, Э. Клейнфелд и другие. Так, например, Л.А. Скорняков в [12] доказал, что альтернативная неассоциативная алгебра с делением является алгеброй Кэли-Диксона. Э. Клейнфелд в [26] обобщил этот результат на произвольные простые альтернативные неассоциативные алгебры. Еще одним важным классом алгебр, близких к ассоциативным, являются йордановы алгебры. Эти алгебры возникли как формализм описания аксиом квантовой механики в совместной работе П. Йордана, Дж. фон Неймана и Е. Вигнера [25], в которой были описаны конечномерные формально-вещественные йордановы алгебры. Они показали, что каждая такая алгебра, за одним исключением, является прямой суммой алгебр, близких к матричным алгебрам. Проблема описания простых йордановых алгебр была сформулирована Дж. фон Нейманом и являлась одной из самых трудных задач в теории йордановых алгебр. Исследованием этой проблемы занимались многие математики, например, Н. Джекобсон, Дж. Осборн, К. Маккриммон. Однако, описать простые йордановы алгебры удавалось только при дополнительных условиях. Даже не было понятно, как выглядят йордановы алгебры с делением. Эта проблема была сформулирована Н. Джекобсоном и решена Е.И. Зельмановым в [7]. Затем Е.И. Зельманов [10] описал произвольные простые йордановы алгебры.
Введение
Дифференциально простые алгебры являются естественным обобщением простых алгебр и применялись еще X. Цаесснхаусом в 1939 г. в работе [36] при изучении алгебр Ли, однако сам термин «дифференциально простая алгебра» (если более точно, Э-простая алгебра, где £> — множество всех дифференцирований данной алгебры) появился в 1953 г. в работе [16] и принадлежит А. Алберту, который применял дифференциально простые алгебры для исследования алгебр с ассоциативными степенями. В этой же работе, среди прочего, было доказано, что в случае характеристики р > 0 радикал ассоциативной коммутативной дифференциально простой алгебры с единицей является ее наибольшим идеалом и выделяется полупрямым слагаемым, причем все элементы радикала нильпотентны индекса р, а если характеристика основного поля равна 0, то данная алгебра будет простой. Также в работе [16] был приведен пример дифференциально простой конечномерной ассоциативно-коммутативной алгебры над полем ненулевой характеристики (алгебра усеченных многочленов), и уже в 1960 г. Л. Харпер в работе [20] доказал, что над алгебраически замкнутым полем нет других примеров.
Э. Познер продолжил изучение дифференциально простых алгебр (колец). В 1960 г. в работе [30] им было установлено, что дифференциально простое кольцо не является локально нильпотентным, а в случае характеристики 0 будет первичным или даже простым, если дополнительно потребовать наличие минимального идеала (здесь следует отметить, что по аналогии с центроидом, который для простых колец является полем, Э. Познером был введен дифференциальный центроид, являющийся полем в случае дифференциально простых колец, так что дифференциально простое кольцо всегда является алгеброй над некоторым полем); в этой же работе было доказано, что всякое ассоциативно-коммутативное дифференциально простое кольцо содержит единицу; исследовались расширения дифференциально простых колец. Далее в 1964 г. Ш. Юань в работе [35] существенно развил теорию дифференциально простых ассоциативно-коммутативных колец характеристики
Глава 2. Дифференциально простые альтернатинные алгебры
причем С| и — конечнопорождепные ^-модули. Отсюда по лемме 2.1.3 получаем, что - С$, в частности, х Є С&. В силу произвольности х Є А5, А$ — С$.
Таким образом, для любого максимального идеала Р в Z существует элемент 5, не лежащий в Р, такой, что А& есть свободный ^-модуль ранга 8. Тогда по [2, глава 2, §5, п° 2, теорема 1] получаем, что А — конечнопорожденный проективный Я-модуль ранга 8. □
§2 Случай характеристики р
На протяжении данного раздела через А будет обозначаться альтернативная неассоциативная ©-простая алгебра над полем Т1 характеристики р > 0, где © С ©ег(Л).
Предложение 2.2Л. Алгебра А содержит единицу, Я(А) — это ©'-простая алгебра, где ©' = {<Э|%(л) І д Є ©}.
Доказательство. В силу леммы 1.2.1 [х, у}4 Є N(A) для всех х, у Є А. Напомним, что ЛДЛ) = Z(A) (предложение 1.2.2). Доказательство существования единицы, приведенное ниже, аналогично доказательству [30, теорема 5], однако целесообразно его привести, так как эту теорему нельзя применить пока не доказана ©'-простота 2(А).
По предложению 1.2.4, существуют х, у Є А такие, что [х, у]'1р ф 0. Следовательно, 2 = [ж, у}4 удовлетворяет г1’ ф 0, 2 Є 2/(А). Ясно, что д(гр) = 0 для всех д Є ©ет(Я), то есть грА А, грА ф (0). Значит, грА = А. С другой стороны, I = {х Є А | грх = 0} <1® А, I ф А, то есть / = (0). Получается, что : А —> А, Ь2р(х) — грх — биекция. Тогда 1 = Ь~4(гр).
Те же рассуждения показывают, что любой элемент Z(A) либо обратим, либо нильпотентен индекса ^ р. Пусть 1 <зу Z(A)) I ф Z(A). Тогда каждый элемент I