Факторно делимые группы ранга 1

• Автор: Давыдова, Ольга Ивановна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 65 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение

Обозначения и некоторые определения

Глава 1. Факторно делимые группы

§ 1. р-базисные подгруппы

§ 2. Основные свойства факторно делимых групп

Глава 2. Группы ранга

§ 3. Описание Бэра групп без кручения ранга

§ 4. Основные свойства и примеры факторно делимых

групп ранга

§ 5. Описание факторно делимых групп ранга

§ 6. Построение факторно делимой группы ранга
произвольной кохарактеристики
§ 7. Гомоморфизмы факторно делимых групп ранга
Список литературы

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. Абелевы группы составляют один из важнейший класс групп. Теория абелевых групп тесно связана с теориями модулей, колец, множеств, категорий и чисел. Первые работы по абелевым группам относятся к 1917-1925 гг. и принадлежат Ф.Леви и X. Прюфсру. В середине 30-х годов была получена полная классификация счетных прнмарных абелевых групп, основанная на результатах X. Прюфера [21], X. Ульма [22] и Л. Цыпина [24]. В конце 30-х годов Р. Бэр [3] на языке типов дал описание групп без кручения ранга 1, а А. Г. Курош [20], А. И. Мальцев [29] и Д. Дерри [6| с помощью матриц с р-адическими элементами получили важное с теоретической точки зрения описание групп без кручения конечного ранга.
В 40-50-е годы произошло выделение абелевых групп из общей теории групп в самостоятельное направление алгебры. Большая заслуга в этом принадлежит Л. Я. Куликову, особенно следует отметить ого знаменитую работу «К теории абелевых групп произвольной мощности» [30].
В 60-70-е годы теория абелевых групп достигла пика своего развития. В это время развивались два ее направления: примарные группы и группы без кручения. Рост интереса к теории абелевых групп был обусловлен, в том числе, и выходом монографий И. Капланского [19], Л. Фукса [14] и П. Гриффита [16], в которых освещались последние ее достижения. О вы-
Введение

соких темпах развития теории абелевых групп в это время говорит и тот факт, что, задумав второе издание своей книги [14], JI. Фукс написал в 1970 и 1974 гг. совершенно новую двухтомную монографию [34].
В последующие годы интерес к примарпым группам постепенно снизился, уровень же внимания к группам без кручения и в настоящее время остается стабильно высоким. Во многом это объясняется особенностями прямых разложений групп без кручения. Так, например, существование «аномальных» прямых разложений, открытых Б. Йонссоном [17], вызвало несколько новых направлений дальнейших исследований. Во-первых — это само изучение таких аномальных прямых разложений (особенно значительных результатов здесь достигли А. Корнер [5], Е. А. Благовещенская и А. В. Яковлев [25], [37]), во-вторых — изучение почти вполне разложимых групп (развитие данного направления отражено в монографии А. Мадера [18]), и в третьих — исследование групп без кручения конечного ранга с точностью до квазиизоморфизма.
Факторно делимые группы без кручения были введены в 1961 г. Р. Бью-монтом и Р. Пирсом [4]. В 90-е годы интенсивно изучался класс смешанных групп, называемый Q. Этот класс был введен в 1994 г. С. Глаз и У. Уи-клессом [151 и ему посвящено значительное количество работ. Как обобщение факторно делимых групп без кручения и групп из класса Q в 1998 г.
A.A. Фомин и У. Уиклесс в работе [10] определили смешанные факторно делимые группы и доказали, что категории смешанных факторно делимых групп и групп без кручения конечного ранга, е квазигомоморфизмами в качестве морфизмов, двойственны. Катсгорная двойственность Уиклесса-Фомина полезна для изучения как смешанных факторно делимых групп,
§ 4. Основные свойства и примеры факторно делимых групп ранга

3. сосНаг{Ь + с) сос1гаг{Ъ) V соскаг(с) для любых Ь, с Є А.
4. Для всякого гомоморфизма /: А —> В и любого а Є А имеет место неравенство сосігагда) соскагд(/(а)).
5. Если тЪ — пс для ненулевых целых т и п, то ссЛуреЬ) = соіурє(с).
6. со1,уре(Ь + с) < соіуреіф) V соіуре(с) для любых Ь, с Є А.
7. Для всякого гомоморфизма /: А —> В и любого а Є Л имеет место неравенство соіуре(а) со1,уре(1' (а,)).
Теорема 4.1. Пусть А — факторно делимая группа ранга 1 с базисом х. Если простое число р деаит. элемент х, то группа А является р-делимой.
Доказательство. Пусть И = {х) — свободная подгруппа группы А такая, что А/В — периодическая делимая группа. Для любого элемента а Є А существует Ь Є А, для которого а + Д = рЬ + і*1 или а = рб + тх для некоторого целого т. Так как элемент х делится на р, то из последнего равенства следует, что а делится на р. Тогда, в силу произвольности выбора элемента а Є А, получаем, что А является р-делимой группой, ш
Пусть А — произвольная факторно делимая группа ранга 1 с базисным элементом х и сосНаг{х) = (тр). Если гпр = 0 для некоторого простого числа р. то по теореме 4.1 получаем, что А является р-делимой группой, и значит, выполняется ір(А) = 0. Если тр = оо для некоторого простого числа р, то также ір{А) = 0, т. е. А — группа без р-кручения. Таким образом, факторно делимая группа А ранга 1 является группой без кручения тогда и только тогда, когда характеристика ее базисного элемента состоит только из символов 0 и оо.