Конечные группы с несвязным графом простых чисел, имеющим небольшое число вершин

• Автор: Храмцов, Игорь Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 96 с. : ил.

Содержание
Введение

1 Определения, обозначения и предварительные результаты

2 3-примарные группы с несвязным графом простых чисел

2.1 Предварительные результаты

2.2 Главные факторы коммутантов 3-примарных групп

2.3 Главные факторы 3-примарных групп

3 4-примарные группы с несвязным графом простых чисел

3.1 Графы простых чисел почти простых 4-примарных групп

3.2 Главные факторы коммутантов 4-примарных групп

3.3 Главные факторы 4-примарных групп

3.4 Вполне приводимость некоторых С'Т7’(2)Л7-модулей
4 Реализуемость абстрактного графа с не более чем пятью вершинами как графа простых чисел некоторой группы
4.1 Предварительные результаты
4.2 Графы с двумя или тремя вершинами
4.3 Графы с четырьмя вершинами
4.4 Графы с пятью вершинами
Список литературы
Приложения
Приложение Л
Приложение Б
Приложение В

Введение
Одним из наиболее важных результатов математики 20 века является классификация конечных простых групп [2]. В постклассификационной теории конечных групп интерес многих исследователей вызывают различные проблемы распознаваемости. Для набора параметров некоторой конечной группы естественным является вопрос, насколько этот набор определяет данную группу с точностью до изоморфизма. Примером этого служит проблема распознаваемости конечных групп по спектру или по графу простых чисел (также известному, как граф Грюнберга—Кегеля).
Пусть С — конечная группа. Обозначим через 7г(С) множество простых делителей порядка группы (3, а через ш[С) — спектр группы О, т. е. множество всех порядков ее элементов. Множество ш(С) определяет граф простых чисел (граф Грюнберга — Кегеля) Г(Г?) группы О, в котором множество вершин есть к{С) и две различные вершины р ид соединены ребром тогда и только тогда, когда рд Е ш(С). Обозначим число компонент связности графа Г(б?) через в(С), а множество его связных компонент — через (яДС) | 1 < г < 5(6)}; при этом для группы С четного порядка считаем, что 2 € тгДС).
Группа С называется распознаваемой (по спектру), если любая конечная группа Я с условием ш(Н) = со(С) изоморфна С. С уже устоявшимся направлением исследований распознаваемости конечных групп по спектру (см. обзор В. Д. Мазурова [13]) тесно связано новое перспективное направление исследований распознаваемости конечных групп по графу простых чисел. Группа С называется распознаваемой по графу простых чисел, если для любой конечной группы Н равенство Г (Я) = Г(Я) графов влечет изоморфизм Я = (? групп. Здесь под равенством графов Г(Я) и Г((?) понимается совпадение их множеств вершин и множеств ребер соответственно. Ясно, что из распознаваемости конечной группы по графу простых чисел следует ее

распознаваемость по спектру.
Напомним некоторые понятия, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем. Группа С называется п-примарной, если |7г(С)| = п. Группа в называется 2-фробениусовой, если в С существуют такие подгруппы А, В и С, что (7 = АВС, А и АВ — нормальные подгруппы в С, АВ и ВС — группы Фробениуса с ядрами А и В и дополнениями В и С соответственно.
Изучение распознаваемости конечных групп по графу простых чисел имеет совсем недолгую историю. В 2003 г. в работе М. Хаги [25] были даны первые примеры конечных групп, распознаваемых по графу простых чисел, а именно группы Jl, М22, М2з, М24 и Со2, и также получено некоторое описание (но не полная классификация) конечных групп С таких, что Г(О) = Г(5), где 5 — спорадическая простая группа. В дальнейшем рядом авторов были получены другие результаты в этом направлении, например, в работах [5,7,14,15,33-36] была установлена распознаваемость по графу простых чисел групп Д, (7г(7), 2<7г(д), £2(9) и £«( Задача распознаваемости конечных групп по графу простых чисел является частным случаем общей задачи изучения конечных групп по свойствам их графов простых чисел. В рамках этой общей задачи прежде всего внимание привлекает более подробное изучение класса конечных групп с несвязным графом простых чисел. Это объясняется тем, что указанный класс широко обобщает класс конечных групп Фробениуса, что сразу видно из структурной теоремы Грюнберга—Кегеля (см. лемму 1.1.1). Роль же групп Фробениуса в теории конечных групп совершенно исключительна.
Заметим также, что класс конечных групп с несвязным графом простых чисел совпадает с классом конечных групп, имеющих изолированную подгруппу (т. е. собственную подгруппу, содержащую централизатор каждого своего неединичного элемента), который изучался многими известными алгебраистами (Ф.Г. Фробениус, М. Судзуки, У. Фейт, Дж. Томпсон, Г. Хигмен,

Продолжение табл. 3.1.
Группа L Граф T(L)
3Г>4(2),3Г>4(2): 3 S4(9),S4(9):2b54(9): 23 L'Ar), где г > 17 — простое число, г2 — 1 = 2a3bsc, s > 3 — простое число, а, Ь, с £ N, г = el (mod 4), е £ {+, —}: 1) г - el = 2“-1 2) г - el = 2“-13* 3) г - el = 2a~1sc PGLi(r), где 7 < г ф 17 — простое число, г2 — 1 = 2a3i>se, s > 3 — простое число, а,Ь,с € N, г = el (mod 4),е £ {+.-}: 1) r-el^2a-1 2) г - el ф 2°-1 L2(2m), где т, « = 2” - 1 и t = (2т + 1)/3 — простые числа, большие 3 •£г(Зт), где т, и = (Зт - 1)/2 и t £ 7г(Зт+1) — нечетные простые числа PGL2(3m), где т, и = (3m — 1)/2 и t € л(Зт+1) — нечетные простые числа д7 с/- -^о о 2 3 13 об -Чэ о 2 3 41 о о о о 2 г 3 s О о о о 2 3 г s о о о о 2 s г 3 / (У- -Чэ о 2 3 г О О О о 3 2 s г О О О О 2 и 3 t о о о о 2 t 3 и о О о о и 2 t
Доказательство. Пусть (л — почти простая 4-примарная группа с несвязным графом Г(й) и цоколем Р. Ввиду леммы 2.1.1 и [21] Р — простая 4-примарная группа.