Отношение аннулирования между элементами полугрупп

• Автор: Костырев, Игорь Иванович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 70 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Финитная аппроксимируемость многообразий относительно предиката аннулирования

1.1 Определения и обозначения

1.2 Вспомогательные утверждения

1.3 Основная теорема

Глава 2. Финитная аппроксимируемость многообразий относительно предиката аннулирования II рода

2.1 Определения и обозначения

2.2 Вспомогательные утверждения

2.3 Основная теорема

Заключение
Библиография

Введение
Актуальность темы. Изучение многообразий алгебраических систем с теми или иными условиями конечности является определяющим направлением в современных алгебраических исследованиях. Одним из таких условий конечности является финитная аппроксимируемость алгебраических систем относительно предикатов. Широкое применение апироксимациошшх методов связано с именем академика Мальцева. В его работах середины прошлого века сформировалось общее понятие финитной аппроксимируемости алгебраических систем относительно предикатов и получен ряд основополагающих результатов.
Важность введённого А. И. Мальцевым понятия в значительной степени определяется связью с алгоритмическими проблемами, именно, как отметил А. И. Мальцев [16], финитная аппроксимируемость конечно порождённой алгебраической системы в многообразии, заданном конечным набором тождеств, относительно некоторого предиката, влечёт алгоритмическую разрешимость проблемы этого предиката в рассматриваемой системе. Например, из теоремы Холла [25] о финитной аппроксимируемости конечно порождённых мстабелевых групп следует положительное решение проблемы равенства слов для мстабелевых групп. Апирокспмациопнымп методами С. И. Кубла-иовекпм был положительно решён вопрос алгоритмической разрешимости проблемы делимости в целой серии многообразий полугрупп. М. В. Сапир установил эквивалентность для ряда многообразий полугрупп проблемы равенства и финитной аппроксимируемости конечно определённых полугрупп.
Выбор того или иного предиката обусловлен ролью, которую он играет в теории определённых классов алгебраических систем. Так, например, в

группах важнейшими предикатами являются: предикат равенства, регулярной сопряжённости, предикат вхождения в подгруппу, в конечно порождённую подгруппу. В кольцах п алгебрах важную роль играют предикат равенства, нильпотентности, вхождения в подкольцо (подалгебру). В полугруппах исследовались предикаты делимости, отношения Грина, предикат равенства и вхождения в различного вида подсистемы (идеал, подполугруппа, подгруппа и т.п.). Указанные предикаты явились объектом многочисленных исследований и с точки зрения алгоритмической разрешимости проблем этих предикатов п с точки зрения аппроксимации. В полугруппах особо значимым является предикат делимости. На языке делимости определяются отношения Грина, простота, регулярность и её модификации, распознаваемость (в смысле Эиленберга [22]) п другие важные свойства полугрупп. Следует отмстить, что распознаваемость полугрупп систематически изучается целым рядом зарубежных авторов, таких, как Г. Лаллемап, Д. Перреп, К. Рейс, С. Рэнкин, Ж. Сакарович, Т. Тамура, Г. Тьеррсп, С. Эйлснбсрг и др. в связи с потребностями теории кодирования. Одним из важных случаев отношения делимости является отношение аннулирования. На языке отношения аннулирования определяется фундаментальный порядок па множестве идсм-по'іеитов в кольцах и полугруппах. Это отношение естественным образом возникает при рассмотрении инверсных полугрупп, полуструктур групп и полуструктур киль-полугрупп.
Особый интерес представляет алгоритмический аспект. Если система задана некоторым набором определяющих соотношений и некоторым набором тождеств, то возникает вопрос: существует ли алгоритм, который для любых двух слов определяет, является ли одно слово нулём для другого. В общем случае ответ отрицательный. В частности это следует из результата Новикова П. С. [18].

Далее, пользуясь леммой 1.19, из того факта, что полугруппа 6Д не является финитной аппроксимируемой относительно предиката аннулирования, делаем вывод, что существует тождество и = v Е Т(у) T(S2l).
Поскольку Y> Е V, х(и) = x(v)-
Пусть 1(и) = а, 1(Ъ) = Ь. Существует несколько случаев, которые рассмотрим по отдельности.
а) а Ф Ь. Предположим г (и) — r(v). Поскольку х у = хуп+1 £ T(S2i), мы можем счита'гь, что ha(v) > 2, hj,(v) > 2. Тогда ha(u) > 2 и 1ц(и) > 2, а значит, и = v Е T(S2,): что противоречит определению S2i-
Пусть для определсшюс'л'п h(l(u) —1. Тогда ху — xy"+l, и = v, из чего следует ab = bw Е T(V) для некоторого w Е Cl(a,b),h(w) > 2. Далее ху — xyn+l Е T(V) (лемма 1.17), откуда V С ху = (æy)"+1], что противоречит условию.
Таким образом, этот случай приводит к г(и) ф r(v).
б) а — Ь. Предположим, г (и) = r(v). Как и в предыдущем случае, ha(v) > 2,hi,(v) > 2, а значит, и — v Е T(S2i) — противоречие с условием. Пусть для определённости ha(u) = 1.
Если ha(v) = 1, то приходим к противоречию: и = v Е T(S2(). Следовательно, ha{u) > 1.
Тогда из S Е V следует S2 =iS — r*S ( 1], откуда V С ху = (xy)ri+l} — противоречие. Итак, второй случай также приводит к г(и) ф r(v). Вывод:
и = v Е Т(у) T(S2i) г{и) ф r(v).
Это означает, что апхпу71 = апупхп Е T(V). Так как (axyb — ayxb), (ху = xyn+1) Е Т(У), заключаем аху = аух Е T(V) .
Таким образом, из V С [ху = хуп+},аху = ау7'ху] П Fa следует V С [ху = хуп+1, аху = аух].
Доказательство леммы завершено.