Факторы поверхностей дель Пеццо

• Автор: Трепалин, Андрей Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 87 с.

Содержание
Глава 1. Введение
1.1. Постановка задачи
1.2. Основные результаты диссертации
1.3. Обозначения
Глава 2. Предварительные сведения
2.1. С-минимальные рациональные поверхности
2.2. Торичсские поверхности
2.3. Группы
2.4. Факторы
2.5. Особенности
Глава 3. Расслоения на коники
3.1. Геометрия слоёв и сечений
3.2. Действие группы Галуа
3.3. Поверхность Псковских
Глава 4. Поверхности дель Пеццо
4.1. Поверхность дель Пеццо степени 9
4.2. Поверхность дель Пеццо степени 8
4.3. Поверхность дель Пеццо степени 6
4.4. Поверхность дель Пеццо степени 5
4.5. Поверхность дель Пеццо степени 4
4.6. Поверхность дель Пеццо степени 3
4.7. Поверхность дель Пеццо степени 2
4.8. Поверхность дель Пеццо степени 1
Публикации но теме диссертации
Список литературы

Глава
Введение
1.1. Постановка задачи
Работа посвящена изучению свойств рациональности факторов рациональных поверхностей по конечным группам автоморфизмов.
Пусть Є — конечная группа, а к — поле. Рассмотрим следующее чисто трансцендентное расширение К/к степени трансцендентности п = огсКЗ. Отождествим К с к{(х9)}, где индекс д пробегает все элементы группы С. Группа Є естественно действует на К перестановками переменных: 1г(хд) = ху1д. Проблема Э. Нётер [28] заключается в следующем: является ли поле инвариантов К° рациональным (то есть чисто трансцендентным) над к? На языке алгебраической геометрии эту проблему можно переформулировать следующим образом: является ли рациональным фактормногообразие А£/(7?
Наиболее полный ответ на этот вопрос известен для абелевых групп, по даже в этом случае фактормногообразие может быть нерациональным. Р. Г. Сван доказал, что если Є — циклическая группа порядка 47 и к = <0>, то Кс не рационально (см. [33]). Для меньшей циклической группы порядка 8 пример был дан X. В. Ленстрой [22]. Дальнейшие результаты для абелевых групп получены в [17] и [35].
Для неабелевых групп существуют примеры нерациональных полей инвариантов даже в случае к = к. Д. Дж. Сальтман доказал, что для любого простого числа р существует неабелева группа порядка р9 такая, что Кс не рационально, если ейагк Ф р (см. [30]). Позже этот результат был усилен Ф. А. Богомоловым, который доказал, что существует такая группа порядка р6 (см. [11]), и П. Моравецом, А.Хоши и М. Кангом, доказавшим этот результат для группы порядка р5 (см. [27] и [19]).
Проблему Нётер можно обобщить следующим способом. Пусть к — поле характеристики 0, К = к(хі,.. .хп) — его чисто трансцендентное расширение, а Є — конечная группа, действующая на к. Возникает вопрос: когда Кс рационально и как устроены нерациональные поля инвариантов? Дальнейшим обобщением этой проблемы является задача классификации всех промежуточных подполей к С К' с К.

На языке алгебраической геометрии эта проблема переформулируется следующим способом. Пусть X — k-рациональное многообразие и G — конечная подгруппа Autk(X). Когда фактомногообразие Х/G является k-рациональным? Какова к-бирациональная классификация факторов X/G? Дальнейшим обобщением является проблема описания к-унирациональных многообразий.
В таком обобщении естественно начать с маломерных случаев. Наиболее общий результат известен для размерностей 1 и 2.
Теорема 1.1.1 (Дж. Люрот [23]). Любая унирационалъная кривая рациональна.
Следующая теорема является следствием критерия рациональности Ка-стельнуово [13].
Теорема 1.1.2. Пусть к — алгебраически замкнутое поле характеристики ноль. Тогда любая к-унирационалъная поверхность к -рациональна.
Для больших размерностей известно гораздо меньше. Например, в случае алгебраически замкнутого поля к неизвестно, является ли всякий фактор Р| по конечной группе k-рациональным (подробности см. в [29]). Если поле к не является алгебраически замкнутым, то фактор Pj^/G может быть нерациональным даже для абелевой группы G (см. [8, Example 2.3]).
С другой стороны, если поле к не является алгебраически замкнутым, полного ответа о рациональности не существовало даже для факторов Р{). В статье [18] доказано, что иоле k(x, y)G- рационально для мономиального действия группы G на множестве {х, у}. Это соответствует к-рациональности факторов торических поверхностей по группам, имеющим инвариантный двумерный тор на такой поверхности. Из результатов статьи [8] следует, что фактор Р1/G и фактор (Р^ х Pj[) /G являются k-рациональными, если G циклическая (G может быть бесконечной).
Заметим, что если X — k-рациональная поверхность и G С Aut(X) — конечная группа автоморфизмов, то Х/G может не быть к-рациональным. Например, всякая поверхность степени 4 (являющаяся полным пересечением пары квадрик в Pjj[), обладающая k-точкой, является 2-к-унирациональной (см. [25, Теорема IV.7.8]), но не все они являются к-рациональными (см. теорему 2.1.11). Это означает, что существует к-рациональная поверхность X

слоев или 4к + 2 вырожденных слоев. Если мы обозначим количества таких слоёв через а, Ь и с соответственно, то на поверхности У будет а + Ь + с вырожденных слоёв и как минимум 2а + (4к + 2)с вырожденных слоёв на X.

Перейдём к доказательству теоремы 3.1.1.
Доказательство теоремы 3.1.1. Пусть пит — количества вырожденных слоёв на X и У соответственно.
Рассмотрим Св-ММП-редукцию Z фактора Х/Ср. По лемме 3.1.3 число вырожденных слоёв на Z не превосходит п. Поверхность У является относительной ММП-редукцией ZjGв■ Применяя предположение 3.1.8 к различным случаям С в, проверим следующее утверждение:
• если п ^ 3, то т ^ 3;
• если п > 3, то т ^ п. Если т = п, то т = п = 4и Сд = £2 или С в — ®
Применение равенств К — 8 — п и Ку — 8 — т завершает доказательство.

Доказательство следствия 3.1.2. Для относительной ■ ММП-редукции У фактора Х/С имеем Ку > 5 по теореме 3.1.1. Значит, Х/С = У являются к-рациональными по следствию 2.1.12. □
3.2. Действие группы Галуа
В этом параграфе мы построим пример к-нерационального фактора к-рационального расслоения на коники и докажем теорему 1.2.1.
Предложение 3.2.1. Пусть X —> В относительно С -минимальное расслоение на коники, С — группа, эффективно действующая на базе В, и Г = Са1 (к/к). Пусть У относительная ММП-редукция над В/С минимального разрешения особенностей Х/С и / : X —-»У — соответствующее отображение. Пусть К вырожденный слой над точкой р € В такой,