Полные, редуцированные и примарные конечные полугруппы

• Автор: Финк, Татьяна Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Омск
• Количество страниц: 101 с.

0.1. Постановка задач и основные результаты
0.2. Основные определения и предварительные сведения
Глава 1. Полные конечные полугруппы
1.1. Полные конечные полугруппы
1.2. Минимальные полные конечные полугруппы
Глава 2. Редуцированные и примарные конечные полугруппы
2.1. Редуцированные конечные полугруппы
2.2. Примарные конечные полугруппы
Глава 3. Полные радикалы конечных полугрупп
3.1. Конечные полугруппы с наибольшими полными подполугруппами
3.2. Расщепляемые псевдомногообразия конечных полугрупп
3.3. Псевдомногообразия конечных полугрупп, обладающие полным радикалом
Литература

0.1. Постановка задач и основные результаты
В теории абелевых групп важную роль играют понятия полноты (делимости), редуцированности и примарности. Подход к указанным понятиям, использующий теорию многообразий групп, осуществил Л. М. Мартынов. Это позволило ему определить их аналоги для произвольных алгебр [30, 31]. А именно, очевидно, что абелева группа является полной в стандартном смысле тогда и только тогда, когда она не имеет гомоморфизмов на неединичные группы из атомов решетки многообразий абелевых групп (то есть на неединичные абелевы группы простой экспоненты р). Поскольку решетка подмногообразий любого многообразия алгебр является атомной, ясно как определить понятие полной алгебры в этом многообразии, а, следовательно, и понятие редуцированной алгебры, как алгебры, не имеющей неодноэлементных полных подалгебр.
Несколько позже Л. М. Мартыновым в [15] была сформулирована основная проблематика, касающаяся изучения указанных понятий. Там же было отмечено, что обсуждаемые понятия позволяют указать следующий методологический подход к развитию структурной теории алгебр - отправляясь от минимальных многообразий (то есть атомов решетки подмногообразий данного многообразия алгебр), которые зачастую определяются хорошими тождествами и алгебры которых устроены довольно просто, с помощью расширений конструируются редуцированные алгебры с «блоками-факторами» из минимальных многообразий. Поскольку во многих случаях любая алгебра данного многообразия является расширением полной алгебры (в общем случае полной россыпи, то есть дизъюнктного семейства полных подалгебр) с помощью редуцированной алгебры, изучение алгебр в таких случаях можно свести к изучению редуцированных и полных алгебр и их расширений. Другими словами, в этом случае в данном многообразии определен строгий радикал (в смысле Куроша [10]), при этом класс всех полных алгебр является радикальным классом, а класс всех редуцированных алгебр - полупростым. Следуя [19], мы называем этот радикал полным. Яркий пример описанной ситуации доставляют абелевы группы - любая абелева группа является прямой суммой наибольшей полной подгруппы и редуцированной подгруппы, то есть полный радикал в этом случае является расщепляемым. При этом полные абелевы группы имеют исчерпывающее описание - любая ненулевая полная абелева группа является прямой суммой подгрупп, изоморфных аддитивной группе рациональных чисел или квазициклическим группам.
В полугруппах же ситуация гораздо сложнее. Это приводит к содержательной задаче классификации полугрупп, которые могут быть «собраны» из полных и редуцированных полугрупп. Кроме того, в классе полугрупп становится далеко нетривиальным вопрос о характеризации полных и редуцированных объектов. Отметим, что в рамки такого подхода естественно вписывается целый ряд задач, традиционно рассматриваемых в теоретико-полугрупповых исследованиях. Прежде всего, понятие полноты полугрупп по некоторым атомам решетки многообразий полугрупп давно привлекало внимание. Достаточно напомнить исследования по разложимости и неразложимости полугрупп в различные связки своих подполугрупп. В частности, неразложимость полугруппы в полурешетку, левую или правую связку своих подполугрупп соответствует полноте этой полугруппы по соответствующим минимальным многообразиям. С другой стороны, понятие полной полугруппы является ослаблением понятия конгруэнц-простой полугруппы, так как любая конгруэнц-простая полугруппа, не принадлежащая атомам решетки многообразий полугрупп, является полной. Конгруэнц-простые полугруппы могут быть довольно сложно устроены (в силу результатов Л. А. Бокутя [1] и
Э. Г. Шутова [28] любая полугруппа вкладывается в конгруэнц-простую). Тем не менее, для некоторых классов полугрупп они имеют достаточно хорошее описание по «модулю групп». Например, конгруэнц-простые конечные полугруппы, не являющиеся простыми группами, имеют исчерпываюкажем, что любая группа меньшего порядка не является полной. Согласно теореме Бернсайда [11, с.373], если порядок группы делится только на два различных простых числа, то группа разрешима. Поэтому минимальный возможный порядок неразрешимой группы равен 2-3-5 = 30. Но ни одна из групп 30-го порядка не является простой, так как их центры нетривиальны, а центр любой группы - нормальная подгруппа в группе. Следовательно, любая группа 30-го порядка имеет гомоморфизм на нетривиальную разрешимую группу. В силу следствия 0.2.2 среди групп 30-го порядка полных нет. Значит, минимальный порядок полной группы равен 60, и знакопеременная группа Л5 является минимальной полной группой минимального порядка. □