Дифференциально-алгебраические и геометрические основы центральной динамики на кривых второго порядка

• Автор: Герасимова, Ольга Вячеславовна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 86 с.

Оглавление
Введение

Глава 1. Аксиоматика и кривые второго порядка в декартовой плоскости

1.1 Основные определения и аксиомы

1.2 Лемма о моменте

1.3 Критерий несжимаемости

1.4 Функционал промеры

1.5 Аксиоматика инвариантной промеры

1.6 Кривые второго порядка, касательное расслоение

1.7 Свойства кривых второго порядка, директрисы и фокусы

Глава 2. Лемма о директрисе и фокусе

2.1 ±-фокусировка плоской волны
2.2 Гармонический осциллятор
2.3 Первые интегралы для полей Кулонова типа
2.4 Модифицированные поля Кулонова типа
2.5 Поля Птолемеева типа
2.6 Х-версии
2.6.1 Случай однополостного гиперболоида
2.6.2 Случай двуполостного гиперболоида
2.7 Универсальная квадратичная динамика в сигнатуре у,-^
Глава 3. Соотношения Капелли и их применение в дифференциальной алгебре
3.1 Простые и максимальные идеалы в счетномерных коммутативноассоциативных алгебрах над полями К и С
3.2 Коммутативные алгебры с одним дифференцированием
3.3 Техника гомоморфизмов Тейлора
3.4 Соотношения Капелли и теорема о ранге
3.5 Свойства определителя Капелли-Вронского

Глава 4. Выразимость центрально-квадратичной динамики на языке дифференциальных алгебр
4.1 Алгебра квадратичной динамики и её "проинтегралы"
4.2 Редуцированная алгебра квадратичной динамики
4.3 Алгебры центрально квадратичной-динамики, и их локализации по элементу оді, и кубичное расширение
Глава 5. О спектре интегрального оператора на компактной группе.
Литература
Введение
Общая характеристика работы Диссертация относится к алгебраическим аспектам теоретической физики. В ней рассмотрены следующие вопросы: дезарговость проективной плоскости; необходимые условия коммутативности координатного тела; первые интегралы центрального движения по кривым второго порядка в терминах дифференциальных алгебр; понятия квадратичной и центральной динамики. Обозначим результаты, полученные в этом направлении.
Наблюдение первое. Для того, чтобы абстрактная проективная плоскость была дезарговой и ее координатное тело было коммутативным необходимо и достаточно, чтобы в хотя бы одной аффинной карте этой плоскости выполнялась следующая
Теорема (см [26],[28]). Пусть т.очки Сд1,С22, Фз, 3 таковы, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Назовем 1 .1%, Iз прямые, проходящие через точку Б и параллельные прямым (^1(^2, (^2(^3, соответственно. Возьмем произвольную прямую параллельную 3(^2, но с ней не совпадающую, пусть она пересекает прямые 1, 12 в точках Р и Р2. Тогда точка пересечения прямых, проходящих через точки Р и Р2 и параллельных З1 и 3(^з, соответственно, лежит на прямой 1з-
Этот доказанный мной результат позволяет не только ввести геометрически наглядно привычное со времен Декарта понятие числа, доказав

Глава
Лемма о директрисе и фокусе.
2.1 ±-фокусировка плоских волн.
Пусть на аффинной действительной (комплексной) плоскости квадратичная кривая задана уравнением
апх2 + 2апху + а22у2 + 2а13х + 2 п23у + а33 = 0.
Проведём из точки А =Г (хо,уо) этой кривой прямую проходящую через начало координат О (0,0), пусть А! (х'0,у'0) - вторая точка прямой АО, лежащая на квадратичной кривой. Хорошо известно (1.7), что пересечение касательных проведенных к ней из точек А и А' лежит на прямой а,13х--а23у+а33 = 0. Будем называть эту прямую директрисой нашей кривой относительно фокуса О — (0, 0).
Лемма о директрисе и фокусе. Для любых действительных а,/3, 6, к бесконечно дифференцируемые решения х(б), у{1) (х{1) • у'(б) — .'/;'(£) • у(б) ф 0) уравнения
лежат на кривых второго порядка, у которых фокус расположен в точке (0,0), а директриса определяется уравнением а ■ х + /3 ■ у + 8 = 0.