Компактные однородные пространства положительной эйлеровой характеристики

• Автор: Щетинин, Александр Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Ярославль
• Количество страниц: 98 c. : ил

Глава I. Когомологии,многообразия М

§ 1.1. Системы корней и группы Вейля

§ 1.2. Предварительные сведения о когомологиях

многообразия К

§ 1.3. Симплектические многообразия

§ 1.4. Неразложимость алгебры И*(И

Глава 2. Классификация односвязных пространств

§ 2.1. Рациональная классификация

§ 2.2. Целочисленная классификация

Глава 3. Классификация неодносвязных пространств

§ 3.1. Фундаментальная группа многообразия

§ 3.2. Автоморфизмы алгебры И (М^сО. Случай
простой системы корней
§ 3.3. Автоморфизмы алгебрыН (К>ф'')
§3.4. Гомотопическая классификация
Глава 4. Некомпактные транзитивные группы
§ 4.1. Строение некомпактных полупростых
алгебр, Ли
§ 4.2. Централизаторы торов в линейных группах
§ 4.3. Классификация некомпактных транзитивных
групп
Литература
Приложения
- з
Пусть К. ~ Компактная связная группа Ли, Ь - ее замкнутая подгруппа, И- * Хорошо известно, что подгруппа и
имеет максимальный ранг в К тогда и только тогда, когда все нечетномерные числа Бетти многообразия равны нулю, или, что то же самое, если эйлерова характеристики многообразия И положительна. Обратно, любая.подгруппа максимального ранга замкнута в К [ 311. Такие однородные пространства составляют обширный и важный класс компактных однородных пространств. К их яислу от2И.
носятся, например, четномерные сферы о , четномерные вещест-
^ 2 К.
венные проективные пространства (к Р , комплексные проективные пространства о- Р , прямые произведения этих многообразий, а также многие другие.
, Естественной задачей является описание однородных пространств указанного вида. Для односвязных пространств оно было получено А.Борелем и Ж.Зибенталем [301 и Е.Б.Дынкиным [121. Можно, однако, ставить вопрос о дифференцируемой, топологической и т.д. классификации таких однородных пространств, Эта задача решается в настоящей работе. Оказывается, что гомотопическая и дифференцируемая классификации эквивалентны, а дифференцируемая и однородная эквивалентны за некоторыми исключениями,причем все такие исключения перечислены.
Указанная задача для однородных пространств вида ,
где 'Т - максимальный тор группы X » была решена А.Л.Онищиком [171. Топология компактных однородных пространств положительной эйлеровой, характеристики изучалась А.Борелем [61, [291, Д.Н.Ахи-езером [21, [31, М.Я.Блинкиным [51, И.Н.Бернштейном, И.М.Гель-фандом и С.И.Гельфандом [41. Отметим, что в работах [171 и [31

использовался аппарат теории когомологий и теории гомотопий. В данной работе используется только теория когомологий. Для одно-связных пространств основное утверждение таково: если два компактных однородных пространства положительной эйлеровой характеристики имеют изоморфные кольца целочисленных когомологий, то такие пространства диффеоморфны. Для неодносвязных пространств мы доказываем более слабое утверждение, а именно, что из гомотопической эквивалентности двух однородных пространств этого вида следует, что эти пространства диффеоморфны. Предварительно дается однородная классификация таких пространств. Определение 0.1. Пусть _И =. , К ~ /\', где & и
Л
Су - связные группы Ли, К и К - замкнутые подгруппы в Сг и /
& соответственно. Однородные пространства К и К называются
изоморфными, если существуют изоморфизм ■$: О О и
диффеоморфизм ? •. М —■* Н* , удовлетворяющие условию
осей).
Определение 0.2. Пусть & и & - связные группы Ли, Н и /
"И - замкнутые подгруппы в G и & соответственно. Однородное
пространство с/н называется расширением /в сильном смысле/ однородного пространства &//н' если существует мономорфизм С /—* (Ф такой, что ^ (Н/) - ) ОН и )Н .
Под одно родным пространством всюду в дальнейшем будет пониматься компактное связное локально эффективное однородное пространство положительной эйлеровой характеристики, т.е. локально эффективное факторпространство связной компактной полу-простой группы Ли по ее подгруппе максимального ранга.
Определение 0.3. Пусть К. и К. - компактные связные односвязные группы Ли, и 1~ - подгруппы максимального ранга, Н

/ / / Н-_К.1*..,*ПС*61) -К =■ -Н 4_ х ... * -И с * Q-

где многообразия Q и Q диффеоморфны, H.-~(C<>j4c'2®C'Ki*i.sO, n-CGa A„©Anyi.s^c) • Поскольку многообразия K^c-UUc)
3 1 *
не имеют кручения, то Н (К; "2 )=^Оэ и
КС К -ZL ) = Н*(М: 22)cs>H(Q
~ъ '
С другой отороны,Н (-М.: "22^Moll (is ^ s t) и
К (Н> 12. )<§)ЬЦ& 2) есть. подкольцо в НД SA 2 ) . Сле-^ ;
довательно, кольца И (К,22) иК (Н;2) неизоморфны.
. Следствие 2.3. Пусть -К-(R ф! , ( g' <ф') , где R и
* ' t ’
R - системы корней, фиф - регулярные подсистемы в R и
/ . I
R соответственно. Если K , то существуют однородные
// /I/ if
пространства JH и И такое, что .К есть расширение как

пространства JM , так и пространства К , которые, в свою, очередь, являются расширениями пространства н"

Следствие 2.4. Пусть, однородные пространства .м. и JM удовлетворяют условиям следствия 2.3. Тогда многообразия JM и диффеоморфны.