Поликатегории и поликольцоиды многоместных функций

• Автор: Реди, Эллен Рудольфовна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Тарту
• Количество страниц: 150 c. : ил

1. ПОНЯТИЕ ПОЛИКОЛЬЦОИДА. ПРИМЕРЫ. ПРОСТЕЙШИЕ СЛЕДСТВИЯ

ИЗ АКСИОМ

1.1. Понятие поликольцоида

1.2. Примеры поликольцоидов

1.3. Частные случаи поликольцоидов

1.4. Простейшие следствия из аксиом поликатегории

2. ГЛАВНЫЕ ИДЕАЛЫ И ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ГРИНА В ПОЛИКАТЕГОРИЯХ

2.1. Главные левые идеалы, ^-классы и Л -классы

2.2. Главные строгие правые идеалы и ^.-классы

2.3. Главные строгие двусторонние идеалы, Ж- и $)-классы

2.4. Идеалы слабо полных полиграфов

3. ИДЕАЛЫ И ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ГРИНА В СИММЕТРИЧЕСКИХ ПОЛИКАТЕГОРИЯХ
3.1. X -эквивалентность Грина и левоизотопия
3.2. Я Ж- и £ -эквивалентности Грина
3.3. Левые идеалы
3.4. Строгие правые идеалы
4. ПЛОТНО ВЛОЖЕННЫЕ ИДЕАЛЫ ПОЛИКАТЕГОРИЙ
4.1. Конгруэнции и гомоморфизмы поликатегорий
4.2. Плотно вложенные левые идеалы
4.3. Плотно вложенные идеалы симметрических поликатегорий
5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛИКОЛЬЦОИДОВ МНОГОМЕСТНЫМИ ФУНКЦИЯМИ
5.1. Определение слов над поликольцоидом
5.2. Определение операций на множествах слов

5.3. Проверка дистрибутивности
5.4. Проверка ассоциативности
5.5. Проверка частичной коммутативности
5.6. Существование представления
ЛИТЕРАТУРА
ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ И ПОНЯТИЙ

В разных разделах математики и ее приложений растет использование многоместных функций и поэтому актуально исследование алгебраических систем, состоящих из таких функций; см. [1,2,5, 11,13,31,32-41,47-52,54]. Предметом данной диссертации служит исследование поликольцоидов и поликатегории, особенно тех, которые составлены из многоместных функций.
Понятие поликольцоида (определение 1.1), введенное в настоящей работе, является обобщением понятия Л-кольцоида С10, с 94], но в другом направлении чем понятие поликольцоида из работы [39]. Понятие поликатегории (т.е. поликольцоида без аддитивных операций) тоже новое. В качестве частного случая поликатегории содержат полукатегории [14], а строго унитарные поликатегории (определение 1.4) - категории [45,с.68]. Отметим также, что рассматриваемое понятие строго унитарной поликатегории является аналогом частного случая поликатегории М.Сабо [53].при одноэлементных конечных носителях. Целесообраность применяемых в данной работе операций над функциями, проявляется особенно явно при исследовании идеалов симметрических поликатегорий (в третьей главе).
Целью работы является исследование идеалов поликатегорий, разработка теории плотной вложенности идеалов в поликатегориях, построение представления поликольцоида в виде подполикольцоида симметрического поликольцоида (многоместных функций над некоторой системой множеств), а также применение полученных результатов в многоосновной логике.
Диссертация состоит из пяти глав. В первой главе определяются понятия полиграфа, поликольцоида, поликатегории, левой, пра-

держащим элемент Q. Действительно, из Ь = ахс и deAksp причем kv-k, следует, что
Ь y. d = (ахс) х (/ = Q х (гх с/).
Н.Ч)
Значит, произведение b х d приведено к виду (2.14).
В силу строгой унитарности поликатегории Л, существует j -единица Gj е AJj, для которой а х Çj = Q . Значит, элемент а тоже представим в виде (2.14). Следовательно, г.с.п. идеал R(a) состоит из всех элементов вида (2.14).
2.2.4. и 42 -эквивалентности
Предложение 2.15. Элементы Q и b строго унитарной поликатегории !£ эквивалентны тогда и только тогда, когда их начальные носители равны, т.е. ах = ЬХ и существуют унарные
элементы с и d, причем с^ — (qç>, bp), dv-(bp, ар), так,что а у с = Ь , b х d = а. (2.15)
Доказательство. Если выполняются равенства (2.15), то, ввиду предыдущего предложения, be IR (а) и а е R(b), т.е. cbßb.
-Наоборот, пусть aVb. Тогда опять, в силу предыдущего предложения, эти элементы представимы в виде a = Ьх с и Ь
- (Хх d при подходящих с,с/, и п V. Учитывая равенство (2.2), имеем Jol = lal ©|с( I Ф 1с|. Поэтому led ©1с I — 'f . Поскольку арности элементов С и с/ (как правых сомножителей) ненулевые, то последнее равенство возможно лишь при Ici ~ Id 1=4. Следовательно, равенства (2.15) и соответствующие условия выполняются.
Примечание 2.1. Оказывается, что в строго унитарной поликатегории отношения 5R. и $ совпадают. Поэтому мы опускаем в дальнейшем в обозначениях индекс 5.
Предложение 2.16. Отношение 42 является левой конгруэнцией строго унитарной поликатегории А, т.е. если G $ b и произведение j- хa определено, то определено и fxb, причем