Большие абелевы группы

• Автор: Бабанская, Олеся Мирославовна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 74 с.

Содержание
Введение

Список основных обозначений

Глава 1. Общие результаты для больших групп

§1.1. Свойства больших групп

§1.2. Обобщенно 2-большие группы, их связь с большими

группами

Глава 2. Группы, большие относительно множества м={г(р) |рт}

§2.1. -большие периодические группы и группы без кручения

§2.2. Случай смешанной группы Л

§ 2.3. Подгруппа Фраттини группы А

§ 2.4. Связь подгруппы Фраттини с -большими группами
Глава 3. 2-большие группы, где Ж={1Р р е Т}
§3.1. Большие группы относительно множества групп целых
/7-адических чисел
§3.2. Связи некоторых множеств групп без кручения
Список использованной литературы

Введение
Теория абелевых групп является одной из важных ветвей алгебры. Абелевы группы тесно связаны с модулями, кольцами, топологическими группами, теорией множеств. Изучение абелевых групп и ряда связанных с ними объектов (например, группы Нот) представляет значительный интерес как для алгебры, так и для ее приложений.
В теориях абелевых групп и модулей исключительно важно понятие прямой суммы. Почти все структурные теоремы об абелевых группах включают в себя, явно или неявно, некоторое прямое разложение.
Хорошо также известна важная роль отображений различных алгебраических систем, среди которых особое значение имеют гомоморфизмы. Одной из исключительных особенностей абелевых групп является то, что множество всех гомоморфизмов Нот(Л, В) из группы А в группу В является группой относительно поточечного сложения гомоморфизмов. Изучение строения этой группы представляет большой интерес для теории абелевых групп, теории колец и модулей.
Между группами гомоморфизмов с одной стороны, прямыми суммами и произведениями абелевых групп с другой стороны, имеются разнообразные соотношения. Например, часто используются естественные изоморфизмы

Нот А, П В, =ПНот(Х,5;),
V <е/ у /б

Если же существует естественный изоморфизм
НотГ А, © В1 | = © Нот(у4,£; ),
V. 1<=7 У Ш
то говорят, что группа А обладает некоторым свойством малости.
Наличие изоморфизма
связано с понятием узкой группы. Теория узких групп представлена в [9, §94, §95]. Малые абелевы группы и модули и различные их обобщения активно изучаются в последнее время (см., например, [5], [12]). Отметим, что малые модули называют также дуально узкими.
В диссертации рассматривается ситуация, когда
т.е. для всякого гомоморфизма (p.A-YBi выполняется включение

(рА с © В1. Это эквивалентно также существованию естественного изо-

морфизма
Пусть Ж - какое-то множество абелевых групп. Абелева группа А называется Ж-большой, если для любых групп В, из Ж{1е.Г) справедливо равенство

Для смешанной группы А введем еще одно множество простых чисел
(кроме Р и 7). Для этого запишем Т(А)- © А , где А - (ненулевая) р-

компонента группы А. Буква S сохраняет этот смысл до конца главы.
Теорема 2.2.2. Если для смешанной группы А множество Tf]S конечно, то А является Ж-болъшой в точности тогда, когда А/Т(А) - Ж-болъшая группа.
Доказательство. Требует проверки лишь достаточность. Предположим, что А/Т(А) - -большая группа. Рассмотрим равенства
V= © Z(p)@ © Z(p),
реТПЯ peTS
v- П Zip)® П z(py
perns peTS
Имеем также равенства
Horn (A,V)=Hom A, © Z(p) | ©Homf A, © Z(p) ,
V дєГПХ ) V peTS

Horn (a, V )=Hom A, Yz(p)
perns
©Horn
A, Hz{p)
p*ts J
Поскольку
f ') [
Horn A, © Z(p)
V psTTlS )
для конечного множества T Г) S, то достаточно убедиться, что
А, П Z(P)
рєгпх
Нот А, © Z(p)
V ГєГ5 )

A, lZ{p)
peTS