Ортогональные разложения и конфигурации идемпотентов в полупростых ассоциативных алгебрах

• Автор: Иванов, Дмитрий Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 151 с.

1 Введение

2 Гипотеза о делимости

2.1 Вводные замечания

2.2 Коммутативные ОР: основная теорема

2.3 Приложения

2.3.1 Гипотеза об измельчении

2.3.2 Аффинные 2-схемы

2.3.3 Адамаровы разложения

3 \ГР-разложения

3.1 Связь с ОР простых алгебр Ли типа Ап

3.2 .^разложения и симплектические расслоения

3.3 Автоморфизмы ¥Р-разложений
3.4 Аналог Теоремы Вагнера
4 Адамаровы разложёния и алгебры
4.1 Связь с матрицами Адамара
4.2 Прямые суммы и тензорные произведения адамаровых алгебр
4.3 Гипотеза о делимости размерности адамаровой алгебры на 4
4.4 Адамаровы разложения в алгебрах матриц
4.5 Открытые проблемы
5 Сбалансированные системы идемпотентов
5.1 Общие результаты
5.2 Сбалансированные системы идемпотентов в алгебрах матриц
5.2.1 Матрицы полупрйизведений
5.2.2 Симметрические и двойственные системы
5.2.3 Границы для числа идемпотентов
5.2:4 Приведенные матрицы полупроизведений
5.3 Автоморфизмы сбалансированных систем идемпотентов
5.3.1 Изоморфизм а : М„ —> РМ„ГК
5.3.2 Изоморфизм т : —)• См(«,г)(А)
5.3.3 Автоморфизмы двойственных систем
6 Сбалансированные системы с 2-транзитивной группой автоморфизмов
6.1 Конструкции
6.2 Общие результаты
6.3 Группа Г = РБЬ(2,д), д нечетно, и ее 2-транзитивное представление степени 9+1
7 Сбалансированные системы со специальными параметрами
7.1 1-(ге + 1,г, пг)-системы
7.2 Конференс-матрицы и (2п, п)-системы
7.3 Подходящие матрицы и (т.2, гп-2±-т)-системы
7.4 Сбалансированные 2-системы в алгебрах М2 и М3
8 Сбалансированные базисы и сбалансированные алгебры
8.1 Матрицы
8.2 Сбалансированные базисы в МР»(С), р >
8.3 Сбалансированные базисы в М2»(С)
8.4 Сбалансированные базисы в алгебре (п + 1)М1 ф М„ и УР-разложения'
8.5 Несуществование 3-систем, являющихся базисами
8.6 Некоторые нерешенные проблемы
9 'Н-биекции групп и 'Нд-изоморфизмы групповых колец
9.1 Гипотеза о конечности группы автоморфизмов ортогонального
разложения
9.1.1 Ортогональные разложения, связанные с расщепляемыми группами
9.1.2 Ортогональные разложения, связанные с обобщенными матрицами Адамара
9.2 %-биекции и "Нд-изоморфизмы: основные определения и проблемы
9.3 Предварительные результаты
9.3.1 Общие факты
9.3.2 Две технические леммы
9.3.3 Пример устойчивой, но не сильно устойчивой группы
9.4 Жесткость и С-базисная жесткость в классе конечных абелевых групп
9.5 Семейства расщепления и другие жесткие семейства подгрупп
9.5.1 Пустое семейство подгрупп
9.5.2 Семейства расщепления
9.5.3 Другие жесткие семейства
9.6 Устойчивые абелевы группы
9.7 Открытые вопросы
Литература

обратны сами себе. С точностью до перестановки компонент это будут строки:
(1,1 1) и (1,-1, 1,-1 1,-1).
Заменим их на строки
(1, г, 1, г 1, г) и (1, -г, 1, -г 1, -г).
Так как новые строки лежат в подпространстве, порожденном удаленными строками, то новая матрица С" является подходящей и удовлетворяет условию 2.
Таким образом, используя матрицу С", по каждому 1-фактору можно построить 2п попарно ортогональных инволюций. При этом инволюции, соответствующие непересекающимся 1-факторам будут ортогональны. Для завершения доказательства леммы остается сослаться на существование 2п — 1 попарно непересекающихся 1-факторов [11] (такие системы 1-факторов называются 1-факторизациями полного графа К2п).
Лемма 4.4.2. Пусть А = Мр ® Мр — блочно-диагональная подалгебра в М2р. Тогда ортогональное дополнение к А в М2р содержит базис из попарно ортогональных инволюций.
Доказательство. Рассмотрим матрицы р-го порядка

где е = е р . Положим 1/$1 = ОвРь. Тогда легко видеть, что матрицы 2р-го порядка

образуют искомый базис. Лемма доказана.
Доказательство Теоремы Пусть {сц} — базис из попарно ортогональных инволюций в пространстве матриц 2п-го порядка с нулевой диагональю, существование которого доказано в Лемме 4.4.1, {/?,,■} — базис из