Дифференциальные идеалы

• Автор: Трушин, Дмитрий Витальевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 89 с.

Оглавление

1 Введение
2 Идеал сепарант в кольце дифференциальных многочленов
2.1 Основные определения и понятия
2.2 Идеал сепарант
2.3 Целые расширения
2.4 Оценки сложности
3 Квазиспектр алгебры разделенных степеней
3.1 Основные определения и понятия
3.2 Квазипервичные идеалы
3.3 Топологический случай
3.4 Коммутативный случай
3.5 Ряды Гурвица
4 Общая дифференциальная теория Галуа
4.1 Определения и обозначения
4.2 Идеалы тензорных произведений
4.2.1 Алгебраические расширения констант
4.2.2 Локальная простота
4.2.3 Универсальные расширения
4.3 Конструируемые поля
4.4 Теорема единственности
4.5 Поля разложений
4.5.1 Абстрактное поле разложения
4.5.2 Подполе разложения
4.5.3 Нормальные расширения

4.6 Соответствие Галуа для нормальных расширений
4.7 Связь с дифференциально алгебраическими многообразиями
Литература

1. Введение
Понятие дифференциального идеала является одним из наиболее фундаментальных в дифференциальной алгебре. Первый вопрос при изучении дифференциального кольца - это вопрос о структуре его дифференциальных идеалов. Кроме того, в терминах дифференциальных идеалов могут быть выражены различные проблемы, связанные с дифференциальными кольцами. Спектр задач, решаемых на языке дифференциальных идеалов весьма широк (подробный обзор можно найти в [5,24]). Мы опишем лишь направления, затронутые в работе.
Первый большой пласт задач связан со структурной теорией дифференциальных колец. Большой интерес представляет структура дифференциально конечно порожденных алгебр Ритта. Любая такая алгебра может быть представлена в качестве факторкольца кольца дифференциальных многочленов по некоторому дифференциальному идеалу. Таким образом, задача изучения данного класса алгебр сводится к изучению дифференциальных идеалов в кольце дифференциальных многочленов над некоторым дифференциальным полем характеристики нуль. В этом направлении огромную роль играет вычислительная техника работы с многочленами. Так как кольцо дифференциальных многочленов представляет из себя кольцо многочленов от счетного числа переменных, то эффективные вычисления в этом кольце достаточно затруднены. Тем не менее существуют эффективные методы работы с радикальными идеалами, основанные на работе с характеристическими множествами дифференциальных идеалов [8,9,15]. Однако они слабо применимы к нерадикальным дифференциальным идеалом и к тому же не позволяют отвечать на все интересующие вопросы. В 80-е годы Ф. Оливье [28,29[ и Дж. Карра Ферро [11[ были одними из первых, кто ввел понятие дифференциальных стандартных базисов,

Замечание 42. Заметим, что нами доказано, что первичный идеал из Ов{Ь) сужается в первичный па В.
Теорема 43. Пусть алгебра Ли Ь свободна и конечно порооюдепа как модуль. Тогда отображения п о П* и Ф* взаимно обратные гомеоморфизмы между пространствами С^врос Ов{Ь) и ЭресВ.
Доказательство. Прежде всего, корректность указанных отображений следует из леммы 41. Так как П* и Ф* индуцированы гомоморфизмами колец, то они непрерывны. А следователь непрерывны нужные нам отображения. Покажем что они биективны и взаимно обратны. П*(р) — р+0^(Ь), как было показано в предыдущей лемме. А следовательно 7г о П*(р) = Ор(Ь). Теперь увидим, что Ф*(Ор(1/)) = Ор(Ь) П В = р. □
До сих пор мы работали только с кольцом Ов(Ь) и его подкольцом В, целиком состоящим из констант. Последнее условие обеспечивало что сужение первичного было бы первичным (как легко видеть из доказательства леммы 41). На этот случай можно смотреть как на гомоморфизм Тейлора в случае тривиального действия алгебры Ли на кольце В. Докажем корректность отображения Ф* для произвольного действия Ь на В.
Определим «коэффициентное» действие Ь на Ов(П) в случае дифференциального кольца В как действие на образ функционала, то есть <и/, ю> = и(), где и Є В, / Є Ов(Ь), и> Є СДфВ). Легко видеть, что таким образом получаем гомоморфизм алгебр Ли р: Ь —» БогДОД/Д). В силу того, что ядро композиции может только увеличится следует, что р(-и) является непрерывным отображением на Ов(Ь). Теперь определим «новое» действие В на разделенных степенях д = В + р. Чтобы различать дифференциальную структуру будем обозначать кольцо и дифференцирование па нем как (Ов(В), В) и (Ов(Ь), д). В конце отметим, что для кольца (Ов(Ь),с1) вложение Ф кольца В позволяет нам рассматривать его как В-диффсрспциальное подкольцо. А так как первичные идеалы ничего не знаю про дифференциальную структуру, то корректность будет следовать из замечания 42 и следующей леммы.