Абелево-регулярные положительные полукольца

• Автор: Старостина, Ольга Валентиновна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 90 с.

Глава I. Предварительные сведения

§1. Основные понятия

§2. Предварительные результаты

Глава II. Строение агр-полуколец

§3. Структурные конгруэнции

§4. Структурные теоремы

§5. Функциональное представление агр-полуколец

Глава III. Свойства агр-полуколец

§6. Конгруэнции на агр-полукольцах

§7. Гомоморфизмы агр-полуколец

§ 8. А гр-подполукольца

§9. Идеалы агр-полуколец
§10. Обобщенные агр-полукольца
Литература
Предметный указатель

Диссертация посвящена изучению одного из классов полуколец -абелево-регулярных положительных полуколец (огр-полуколец), являющихся своеобразным симбиозом дистрибутивных решеток и полутел и допускающих вполне удовлетворительное структурное описание.
Общая теория полуколец возникла в 50-е годы XX столетия и в настоящее время является активно развивающимся разделом современной алгебры. Это связано от части с успешным применением ее в дискретной математике, компьютерной алгебре, идемпотентном анализе, теории оптимального управления и других разделах математики [22, 44, 46]. Ей посвящены монографии Голана [44, 45], Хебиша и Вай-нерта [46], обзор Глазека [43], обзоры [9, 36, 48]. Среди публикаций последнего десятилетия следует отметить работы И.И. Богданова [2, 3], Е.М. Вечтомова [7, 8,10], С.Н. Ильина [15], М.А. Лукина [21], A.B. Рят-тель [24], А.Н. Семенова [25, 26], В.В. Чермных [35, 39], A.B. Чера-невой [33], касающиеся строения различных классов полуколец и полутел. Гомологические вопросы полуколец и полумодулей изучались в [16, 19, 30, 31, 32, 41, 45, 47, 49].
Частными случаями полуколец являются ассоциативные кольца, ограниченные дистрибутивные решетки, полутела.
Многие полукольца имеют хорошие функциональные (пучковые) представления [34-39]. Это делает актуальным изучение полуколец непрерывных функций. Систематическим изучением колец, полуколец и полуполей непрерывных функций занимаются Е.М. Вечтомов и его ученики [5, 9, 48, 50]. Результаты этих исследований отражены в кандидатских диссертациях В.И. Варанкиной [4], И.А. Семеновой [27],

М.Н. Подлевских [23], Д.В. Широкова [40].
Полукольцом называется алгебра (S, +, •, 0) с двумя бинарными операциями сложения + и умножения •, если (5,+, 0) - коммутативный моноид, {S, •) - полугруппа, умножение дистрибутивно относительно сложения с обеих сторон и тождественно 0 • X = X ■ 0 = 0.
Полукольца образуют широкий класс алгебраических объектов. Поэтому для успешного изучения полуколец на них накладываются естественные дополнительные условия, ограничения, позволяющие выделить важные классы полуколец. В ряде случаев это позволяет сводить исследование полуколец к более известным, достаточно хорошо изученным объектам, например, кольцам или дистрибутивным решеткам. В дальнейшем рассматриваемые полукольца, если не оговорено особо, содержат единицу, отличную от нуля. Полукольцо с делением, не являющееся кольцом, называется полутелом.
Коммутативные атр-полукольца впервые рассматривались Е.М. Вечтомовым в 1992 году [6, замечание 3]. Под названием ПРС-полукольца они введены в докладе [13]. Структурная теория атр-полуколец была развита в работе Е.М. Вечтомова, A.B. Михалева и В.В. Чермных [11].
Агр-полукольцо - это положительное (элемент а + 1 обратим в S для любого а 6 S), регулярное (для каждого а Е S уравнение аха = а разрешимо в S) полукольцо, каждый идемпотент е (е2 = е) которого централен. Этот класс полуколец достаточно обширен, он содержит все дистрибутивные ограниченные решетки и все полутела. А rp-полукольца находят применение в теории матриц над полукольцами [15], при исследовании полутел и полуколец непрерывных функций.
С каждым arp-полукольцом S связана тройка (L(S),U(S),
Доказательство. Если го<^(е) = то<р(/), то согласно замечанию 1 тоф(е) = тоф{/). Тогда то ((у?(е)о^(/))п(^(е)о^>(/)))= (то<р(е))п(то ^(е))= т. Следовательно, (<р(е) о <р(/))п(^(е) о ?/>(/))С т.
Обратно, если (<р(е) о <р(Я)о(^(е) о ф(/))С т, то г о <р(е) о <р(/) = тоу?(е)о((у>(е)о^(/))п(^(е)о^(/)))с т о<р(е). Откуда т о <р(е) о <р(/) = то<р(е). Аналогично, то<^(е)схр(/) = го<р(/). Значит, тоср(е) = то<р(/).
Из леммы 6.1 следует, что конгруэнции полутела £/(5), согласованные с фиксированной конгруэнцией сг € Соп7(5), - это в точности те конгруэнции, которые находятся в интервале [тт*п, 1], где наименьшая конгруэнция Тт;п полутела /7(5) равна тт{п = V ((<р(е) о <р(/)) П (ф(е) о
ест
ИЛ))-
Если зафиксирована конгруэнция г на полутеле /7(5), то все конгруэнции а € Соп7(5), согласованные с г, совпадают с конгруэнциями из интервала [0 ,(хтах], где наибольшая согласованная с У конгруэнция Ртах б Соп1/(5) определяется следующим образом: еотах! Т °<р(е) = гор(Д е,/ех(5).
Теорема 6.1. Бинарное отношение р на агр-полукольце 5 является конгруэнцией на 5 тогда и только тогда, когда а = р|ь(5) и г = р|с/(5) ~ конгруэнции на Ь(Б) и /7(5) соответственно, образующие согласованную пару (а, г), и
(ец)р(/и) <£> ест/ и и(т о <р(е))о. (*)
Доказательство. Необходимость. Очевидно, что т является конгруэнцией на полутеле /7(5) и отношение эквивалентности а сохраняет операцию умножения 7(5). Пусть (ем)р(/у). Тогда ер/(уи~1) и epf(vu~1)2. Откуда fpf(vu~1) и ер/, что эквивалентно соотношению