О проективности конечно порожденных плоских модулей

• Автор: Насрутдинов, Марат Фаритович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 75 с.

1 Проективность конечно порожденных плоских модулей. Предварительные сведения
1.1 Обозначения и соглашения
1.2 Модули типа Р(Ат = Ат+іАт)
1.3 Циклические плоские модули и модули типа Р(ат = ат+іат)
1.4 Переход от п-порожденных Я-модулей к циклическим йп-модулям
1.5 Наследование свойства п — ЕбЕЯ родственными кольцами
1.6 Гипотеза Лазара
1.7 Кольца с инволюцией
2 Дуальная размерность Голди
2.1 Дуальная размерность Голди - предварительные сведения
2.2 Проективные модули с полулокальным кольцом эндоморфизмов
2.3 Полусовершеные кольца
3 Групповые 5-кольца
3.1 Групповые кольца упорядоченных групп
3.2 Групповые Яйалгебры
3.3 Полулокальные групповые алгебры
3.4 От полулокальных груповых алгебр к полупервичным. Редукционная теорема
ЛИТЕРАТУРА

Предмет исследования и актуальность темы. Кольца над которыми все конечно порожденные плоские модули проективны будем называть правыми 5-кольцами. Класс правых 5-колец включает в себя ряд известных и хорошо изученных классов колец. В класс правых 5-колец попадают, например, артиновы и нетеровы кольца, полусовершенные кольца, квази-локальные кольца.
В 1960 году Бассом в его известной статье [28] были рассмотрены кольца, над которыми проективны все правые плоские модули. Такие кольца называются совершенными справа. Эти кольца имеют внутреннее описание: кольцо Л совершенное справа тогда и только тогда, когда Я - полулокаль-ное кольцо и его радикал Джекобсона Г-нильпотентен слева, то есть для всякой последовательности элементов аь..., ап,... из J(R) существует такое к, что оцсц-1 ...01 = 0.
Естественно поставить вопрос о строении колец над которыми проективны все конечно порожденные плоские модули. Таким кольцам посвящены работы Эндо [33], Васконселоеа [58], Йондрупа [41]- [44], Сахаева [14, 13, 16, 18], недавняя работа Пушшского и Ротмаллера [52], и совместные статьи трех авторов Сахаева, Факкини и Херберы [36, 37].
В 1965 году Сахаевым в работе [14] был получен критерий проективности всех п-порожденных плоских правых модулей в терминах стабилизации возрастающих цепочек правых идеалов специального вида. Поэтому

Пунинским и Ротмалером в работе 2004 года [52] было предложено называть кольца, над которыми все конечно порожденные плоские модули проективны, правыми 5-кольцами.
В 1962 году проф. Л.А. Скорняков предложил программу по гомологической классификации колец (см. [21] и [22]), в которой предлагалось охарактеризовать кольца при помощи гомологических свойств категории модулей над ними. Одним из классов таких колец были кольца, над которыми проективны все конечно порожденные правые плоские модули.
Отметим, что остается открытым вопрос о том будет ли всякое правое 5-кольцо левым 5-кольцом.
С вопросом о проективности конечно порожденных плоских модулей тесно связан следующий вопрос, поставленный в работе 1974 года Д. Назаром [45]: Пусть Рц проективный Л-модуль и его фактормодулъ по радикалу Джекобсона Р/Рд(К) конечно порожден. Будет ли конечно порожден модуль Р?
Кольцо Я будем называть (правым) 5-кольцом, если для любого проективного модуля Р выполняется следующее условие: Модуль Р конечно порожден тогда и только тогда, когда конечно порожден фактормодуль Р/Р5(Р).
Для полулокальных колец понятие 5-кольца и 5-кольца совпадают. Ла-заром было доказано, что коммутативные кольца являются 5-кольцами. В работе [61] показано, что правые 5-кольца являются левыми 5-кольцами.
В 1984 году в работе Герасимова и Сахаева [2] был построен пример полулокалыюго кольца не являющегося 5-кольцом. Сахаевым в [17] построен пример полулокального кольца, показывающий, что проективность циклических плоских модулей не влечет проективности всех конечно порожденных плоских модулей.

Справедлива следующая теорема ([7, Теорема 11.3.5]).
Теорема 2.3.1. Кольцо R полусовершенное тогда и только тогда, когда каждый простой модуль обладает проективной оболочкой.
Будем говорить, что модуль М обладает плоской оболочкой П, если П плоский модуль и существует косущественный эпиморфизм ip : П —> М. Отметим, что это определение отлично от плоской оболочки, введенной Эноксом (Enochs), которая всегда существует.
Теорема 2.3.2. Пусть R правое 1 — FG'FF-кольцо. Кольцо R полусовер-шенно тогда и только тогда, когда каждый простой правый модуль обладает плоской оболочкой.
Доказательство. Так как проективный модуль является плоским, то необходимость очевидна. Покажем достаточность. Пусть М простой правый 5-модуль и : П —> М —>■ 0 — плоская оболочка. Пусть п Е П, такое что ip(ri) ф 0. Имеем П = nR + Кег = nR - циклический плоский модуль. Так как R является правым 1 - FGFP-кольцом, то утверждение следует из теоремы 11.3.5 [7] □
Следствие 2.3.3. Пусть R правое 5-кольцо. Кольцо R полусовершенно тогда и только тогда, когда каждый конечно порожденный модуль обладает плоской оболочкой.
Пример 2.3.4. Пусть А коммутативная область целостности, имеющая по крайней мере два максимальных идеала, и ШТ2 максимальные идеалы кольца А. Обозначим S = ПЙЯг). Тогда кольцо частных As полулокальное коммутативное кольцо (а значит и 5-кольцо), которое не является полусовершенным.