Инволютивные тождества бесконечномерных алгебр

• Автор: Анисимов, Никита Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 84 с.

Содержание
Введение

1 Инволютивные тождества грассмановых оболочек конечно порожденных алгебр

1.1 Инволютивные тождества

1.2 Градуированные алгебры и градуированные тождества

1.3 Многообразия инволютивных тождеств алгебр

2 Инволютивные тождества бесконечномерной алгебры Грас-смана

2.1 Группа линейных автоморфизмов и антиавтоморфизмов

2.2 Инволютивные коразмерности тождеств алгебры Грассмана

2.3 Инволютивные тождества алгебры Грассмана

3 -коразмерности тождеств алгебры Грассмана с автоморфизмом

3.1 7р-коразмсрности тождеств алгебры Грассмана с линейным автоморфизмом
3.2 72-тождества алгебры Грассмана
3.3 О структуре градуированного автоморфизма порядка 2 с условием Шт Г_1 =

Введение
Одним из важных вопросов при изучении тождественных соотношений в алгебрах (как ассоциативных, так и неассоциативных) является нахождение тех или иных численных характеристик для описания количества тождеств некоторой конкретной алгебры, или, более общо, многообразия алгебр. Ответ на этот вопрос дает знание значений функциональной последовательности коразмерностей тождеств алгебры А, определение которой было дано А. Регевым в [R], Если обозначить пространство п-
линейных полиномов в переменных xi ,.т„ через Vn(x), а идеал всех
тождеств алгебры А через Id(A), то величина
Сп(А) = dim — пК ’ Vn(x) П Id(A)
называется n-ой коразмерностью алгебры А. Непосредственно из определения можно извлечь, что если для любого натурального п значения с„(А) = п = dim 14(ж), то алгебра А не удовлетворяет никакому полиномиальному тождеству (или, как еще принято говорить, алгебра А не является PI-алгеброй). А. Регевым в [R] также было показано, что если алгебра А является PI-алгеброй, то значения последовательности коразмерностей ее тождеств имеют не более чем экспоненциальный рост, Сп(А) < ап для некоторого а. В этой связи нельзя не отметить также работу В.Н. Латышева [L].
Описание алгебр, имеющих не более чем полиномиальный рост коразмерностей, Сп(А) < сп( для некоторых констант с, t, было получено А.Р. Кемером в [К2],[КЗ]. Он показал, что последовательность су,(А) полиномиально ограничена тогда и только тогда, когда А ф var(A) и UT2 £ var(A), где А — бесконечномерная алгебра Грассмана, a UT2 — алгебра верхнетреугольных матриц размера 2x2. Так как су,(А) = 2"~1 (см. [KR]), a cn(UT2) = 2 + (п+ 2)2п~1 (см [L1]), то для любой PI-алгебры А либо c„(A) < era*, либо Сп(А) > с2п.
Бесконечномерная алгебра Грассмана играет очень важную роль в PI-теории: как уже было отмечено, она порождает минимальное многообразие с экспоненциальным ростом коразмерностей; также она порождает

минимальное многообразие без стандартного тождества. Кроме того, наличие стандартной Z2-гpaдyиpoвки на алгебре Грассмана Л = Ло Ф Л1 позволяет определить грассманову оболочку Л (А) = Ао ® Ло 0 А 0 Л1 для произвольной супералгебры А = Ао ® А. А.Р. Кемер в [К] доказал, что любое многообразие алгебр порождается грассмановой оболочкой некоторой конечномерной супералгебры, то есть для любой РГ-алгебры А найдется такая конечномерная супералгебра В, что Ы(А) = Ы(Л(Д)). Это утверждение служит одним из ключевых моментов доказательства гипотезы Ш. Амицура о целочисленности экспоненты ассоциативной Р1-алгебры, которое было проведено А. Джамбруно и М.В. Зайцевым в работах [02};[Сй!1]. Верхней и нижней экспонентами РРалгебры А называются величины
Ехр(А) = Жп /с„(А) и Ехр(А) = Дт ^(А)
соответственно. В случае их совпадения говорят об экспоненте алгебры А:
Ехр(А) = Ехр(А) = Ехр(А).
Еще одним направлением исследований в Р1-теории является изучение б-тождеств ассоциативной алгебры А, где (3 — конечная группа автоморфизмов и антиавтоморфизмов А. Соответствующие определения идеала О-тождеств И(А, С) и последовательности (У-коразмерностей О-тождеств с„(А, в) для алгебры А были даны А. Джамбруно и А. Реге-вым в [ОЫ]. Однако зарождение этой ветви РРтеории получило в работах Ш. Амицура [А] и [А1], посвященных исследованию инволютивных тождеств алгебр. В них он, в частности, показал, что если алгебра А удовлетворяет некоторому инволютивному тождеству, то А является и Р1-алгеброй. В [В02] авторами установлена свзь между степенью инволю-тивного тождества А и степенью обычного полиномиального тождества А. Отметим также, что в общем случае наличие б-тождества алгебры А не влечет наличие у А обычного полиномиального тождества; соответствующий контрпример построен В.К. Харченко и приведен в книге С. Монтгомери [М]. Аналогично понятию экспоненты алгебры может быть введено понятие (З-экспоненты алгебры А. В [022] авторами доказа-

Доказательство. Так как с„(Л) = 2" 1 (см. [КБ,]), то доказательство дает лемма 2.1 при А — Л. иб = {1<Т, *}. □
Теорема 2.1 Пусть А — алгебра Грассмана, <р — произвольная инволюция на А. Тогда Сп(А, ip) = 4A~i.
Доказательство. Сначала вычислим значения последовательности с„(А,ірі) ^-коразмерностей ^-тождеств алгебры Л. Отображение щ £ Aut* Л, определенное в предыдущем параграфе, по лемме 2.3 также является инволюцией. Так как ipii — оператор второго порядка в пространстве L (напомним, что L — векторное пространство с базисом, составленным из образующих Л), то мы без ограничения общности можем предполагать, что оператор ірі диагонализирован в L, то есть образующие алгебры Л являются собственными векторами отображения ірі с собственными значениями ±1. Обозначим соостветствующие собственные подпространства в L через Ь и L_i. Перейдем к вычислению Cn(A,(pi).
Пусть / Є Vn(ipi). Запишем / в общем виде:
Из полилинейности / следует, что / £ Ы(Л, 1рг) тогда и только тогда, когда / принимает нулевое значение на любых базисных элементах о,,..., ап £ Т)л.
Пусть а,..., ап £ Ид- Тогда значением / на этих элементах является
• / = /(%,..., а„) — подмножество {1,... ,га}, состоящее из таких г, что длина üi нечетна;
/ = Е
h={hu...hn,
/(щ, ...,ап)= Y, f • • ■ =

а... ап,