Параболические подалгебры супералгебр Ли классического типа

• Автор: Иванова, Наталия Игоревна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Ярославль
• Количество страниц: 79 с.

Гл. 1. Градуированные супералгебры Ли и параболические подалгебры 8 §1. Предварительные сведения

§2. Градуировки и дифференцирования супералгебр Ли 9 §3. Параболические подалгебры

Гл. 2. Системы корней и градуировки супералгебр Ли классического типа

§1. Супералгебры Ли классического типа и их системы корней 18 §2. Леммы о максимальном торе четных дифференцирований 24 §3. Вычисление максимального тора: случаи супералгебр Ли основного типа и типа А

§4. Вычисление максимального тора: супералгебры Ли типов Р и <3

§5. Супералгебры Ли, определенные линейными представлениями редук-тивных алгебр Ли

Гл. 3. Параболические подалгебры классических простых супералгебр Ли 40 §1. Случай супералгебр Ли основного типа 40 §2. Параболические подалгебры супералгебр Ли типа А 44 §3. Параболические подалгебры супералгебр Ли типа Р 49 §4. Параболические подалгебры супералгебр Ли типа С} 60 §5. Параболические подалгебры супералгебр Ли с коммутативной нечетной частью
Гл. 4. Параболические подалгебры как стабилизаторы флагов 70 §1. Случай полной линейной супералгебры Ли 70 §2. Случай супералгебры Ли р„
Литература

Понятия параболической подгруппы и параболической подалгебры играют большую роль в современной теории комплексных и вещественных групп и алгебр Ли. Эти понятия допускают целый ряд эквивалентных определений. Оставляя в стороне вещественный случай, отметим, что параболической подалгеброй комплексной алгебры Ли g обычно называют любую подалгебру р С д, содержащую некоторую борелевскую (т.е. максимальную разрешимую) подалгебру алгебры д. В частности, р должна содержать радикал алгебры д, что сразу сводит общую задачу описания параболических подалгебр к случаю, когда g полупроста. В полупростом же случае параболические подалгебры легко описываются в терминах систем корней (см. [1]). Соответствующие им параболические подгруппы полупростой комплексной группы Ли G можно охарактеризовать как стабилизаторы точек при транзитивных голоморфных действиях группы G на проективных алгебраических многообразиях. В частности, параболические подгруппы классических комплексных линейных групп — это стабилизаторы флагов в соответствующем векторном пространстве (или флагов, изотропных относительно инвариантной билинейной формы, заданной в этом пространстве). Следует также отметить тесную связь, существующую между параболическими подалгебрами и Z-градуировками полупростой алгебры Ли — и те, и другие находятся в соответствии с подсистемами системы простых корней этой алгебры [19].
В настоящей работе рассматриваются только конечномерные комплексные супералгебры Ли. Изучение их параболических подалгебр было начато в 80-х годах прошлого века в работах Ю.И. Манина, A.A. Воронова и И.Б. Пенкова (см. [3, 15], а также [11]). В [3, 15] рассматривался случай, когда супералгебра g является классической простой в смысле В.Г. Каца [13] (простой супералгеброй Ли с редуктивной четной частью), причем из рассмотрения исключались супералгебры Ли типов Р и А(п, га). В подражание четному случаю подалгебра р С g называлась параболической, если р содержит борелевскую подалгебру супералгебры Ли д, а последняя определялась в терминах системы простых корней супералгебры Ли д, введенной в [13]. Было установлено соответствие между параболическими подалгебрами и подсистемами этих систем простых корней, аналогичное известному в четном случае. Там же было дано специальное определение борелевских и параболических подалгебр для простых супералгебр Ли типа Q и эти подалгебры были описаны в терминах систем корней. Для классических линейных комплексных супералгебр Ли (не типов Р(п) и А(п,п)) было доказано, что их параболические подалгебры — это то же, что стабилизаторы флагов (изотропных флагов для супералгебр Ли типов В, С и D или П-симметричных флагов для супералгебр Ли типа Q) в соответствующем векторном суперпространстве.
Здесь мы исходим из другого определения параболической подалгебры су-

пералгебры Ли д, которое является очень общим и кажется нам более естественным. Оно опирается на понятие Ъ-градуировки. А именно с каждой ^-градуировкой д = связана подалгебра р = ®^>0дк супералгебры
Ли д. Такие подалгебры и называются параболическими. Доказывается, что для простых супералгебр Ли, рассмотренных в работах [3, 15], наше определение эквивалентно определению параболических подалгебр, принятому в этих работах. Мы передоказываем результаты о классификации параболических подалгебр, полученные в [3, 15], а затем получаем аналогичную классификацию параболических подалгебр в супералгебрах Ли типов Р и А(п,п), которые в этих работах не рассматривались (некоторую информацию о боре-левских подалгебрах в супералгебрах Ли типа Р можно найти в [11]). Такая классификация проводится также для классических супералгебр Ли, близких к простым, например, для полных линейных супералгебр Ли. Заметим, что Ъ-градуировки простых комплексных супералгебр Ли были описаны В.Г. Кацем в [14], но связь этих результатов с параболическими подалгебрами в [3, 15] не обсуждается.
Часть результатов общего характера получена в более общей ситуации, когда д — так называемая супералгебра Ли классического типа, т.е. когда ее четная часть дд является редуктивной алгеброй Ли, а ее присоединенное представление на нечетной части д; вполне приводимо. Для этого класса супералгебр Ли предлагаемое нами определение параболической подалгебры кажется естественным (хотя, быть может, слишком широким, как показывают пример 1.5 и теорема 3.3). Кроме классических простых и близких к ним супералгебр Ли, мы рассматриваем супералгебры Ли д классического типа, для которых д! является коммутативным идеалом. Такая супералгебра Ли есть полупрямая сумма д = ) О-рУ, определяемая вполне приводимым представлением р редуктивной алгебры Ли ) = дд в векторном пространстве V = дх, операция на котором является нулевой. Мы интерпретируем некоторые параболические подалгебры этих супералгебр Ли как стабилизаторы точек при транзитивных действиях на расщепимых комплексных супермногообразиях, редукцией которых служат флаговые многообразия соответствующей редуктивной группы

Связь между стабилизаторами флагов и параболическими подалгебрами полной линейной супералгебры Ли при нашем определении совершенно очевидна (см. пример 1.4). Более подробно мы рассматриваем ее в гл. 4, где установлена также связь между параболическими подалгебрами супералгебр Ли типа Р и флагами, изотропными относительно инвариантной нечетной билинейной формы.
Заметим также, что понятие супералгебры Ли классического типа было введено А.Л. Онищиком в [16], где содержится также идея определения параболических подалгебр в такой супералгебре Ли в терминах градуировок, определяемых элементами подалгебры Картана ее четной части. Там же было анонсировано описание соответствующих параболических подалгебр в классических линейных супералгебрах Ли в терминах флагов (развитие этой темы
5) Корень Хк + Хк+1 6 П тогда и только тогда, когда к = г — 1 или к = г,
причем выполняются условия а к + ак+1 >0, а* + а к+2 < 0.
Доказательство. 1) Пусть а — Жк — жх, к < I. Если I > к + 1, то а = ж* — XI = (хк — Жк+х) + (*к+1 — жх), так что ж к — ж; ^ П. Значит, если а € П, то а = хк — Хк+1- Если а 0 П, то а = /3 + 7, где /3, 7 € Д^~. Можно считать, что (3 = Хк + хв, 7 = -ж3 - Жк+1, где в ф к, причем я3 + а*, > 0, я3 + Як+х < 0. Обратно, если существует такое в ф к, что а3 + а* > 0 и в, + вк+1 < 0, то а = (ж* + ж3) + (—ж3 — Жк+х) ф П. Значит, а € П тогда и только тогда, когда для любого в ф к такого, что а3 + ак < 0 имеем а3 + ак+1 > 0.
2) Если а — —2хк € Д+, то к > г + 1. При к > г + 1 имеем —а — (—Хк —
жг+1) + (жг-)-1 — хк) ф П. Значит, если а € П, то к = г + 1. Предположим, что а = — 2жг+х ф П. Тогда а = (3 + 7, где /3,7 € Д+. Можно считать, что /3 = — ж*, — жг+х, 7 = ж* — жг+х, где к < г, причем а* + яг+х < 0. Но тогда яг + аг+1 < 0. Обратно, из последнего условия следует, что а = (—хг — жг+1) + (жг — жг+х) ф П.
3) Пусть а = —Хк — XI 6 Д+, к < I. Тогда Як + ях < 0, откуда I > г + 1. Если а ф П, то а = /3 + 7, где /3,7 € Д+, причем возможны следующие случаи:
a) (3 = х3 - Хк, 7 = ж3 - Ж(, в <1, ак + я3 < 0;
b) (3 = —ж3 — жх, 7 = ж3 — ж*, з < /г, ях + я3 < 0.
В случае а) имеем я* + ях-х < 0, а в случае Ь) имеем ях + ак-1 < 0. Значит, если ях- + ях-х > 0 и ях + я*-! > 0, то а £ П. Обратно, если а € П, то Як + ах_х > 0 и ак-1 + а; > 0. Действительно, если ак + аг-х < 0, то а — (—жк — жх_х) + (жг_х жг) 0 П, а если ях+Як_х < 0, то а = (-жх-жк-х) + (жк-х -Жк) ф П. Далее, из Як + ях_х > 0 и к < I — 1 следует, что к < г.
4) Пусть к <1 — 1иа = Жк+жх€ Д+. Тогда Як + ях > 0, откуда к < г. Если а^П, тоа = Д + 7, где [3, 7 € Д+, причем возможны следующие случаи:
a) (3 = хк + ж3, 7 = жх - ж3, I < з, Як + я3 > 0;
b) (3 = XI + ж3, 7 = Жк — ж3, I ф в, к < «, ях + я3 > 0.
В случае а) имеем Як + я;+1 > 0, а в случае Ь) имеем ях + Як+х > 0. Значит, если Як + ях+1 < 0 и ях + Як+х < 0, то а £ П. При этом из а; + Як+х < 0 следует, что I > г + 1.
Обратно, пусть а 6 П. Покажем, что тогда ак + ях+х < 0, ак+1 + ях < 0. Предположим, что ях- + я 1+1 > 0. Тогда а = (жк + жх+х) + (жх — жх+х) ф П. Если же Як+х + ях > 0, то а = (жк — Жк+х) + (жх + Жк+х) Ф П. Таким образом, в обоих случаях получили противоречие.
5) Пусть а = Жк + Хк+1 € Д+- Тогда имеем Як + Як+х > 0, к < г. Как и в п. 4), из условия а ф П следует, что а = (3 + 7, причем возможны следующие случаи:
a) (3 = Хк + ж3, 7 = Жк+х - х3, з > к + 1, Як + я3 > 0;
b) (3 — Жк+х + ж8, 7 = Жк - ж3, в > к + 1, к < з, Як+х + я3 > 0.
В случае а) имеем вк + Як+2 > 0, а в случае Ь) имеем Як+х + Як+2 > 0. Но
Як + Як+2 > ак+1 + ак+2- Значит, если Як- 4- Як+2 < 0, то а € П. Обратно, если