Локальные тела

• Автор: Жеглов, Александр Борисович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 101 с.

Содержание
Введение.
1 Строение двумерных локальных тел.
1.1 Введение
1.2 Раоцепимыс тела
1.3 Классификация расгцепимых тел характеристики
1.4 Расщепимые тела характеристики р >
1.5 Классы сопряженных элементов
2 Классификация автоморфизмов двумерного локального поля.
2.1 Основные результаты
2.2 Доказательство теорем 1 и
2.3 Доказательство теоремы

Введение.
Настоящая работа посвящена изучению локальных тел — объектов, являющихся непосредственным обобщением многомерных локальных полей, а также их применениям в теории тел над гензелевыми полями.
Локальные поля естетственно возникают в алгебраической геометрии и алгебраической теории чисел при установлении различных связей между локальными и глобальными свойствами полей алгебраических чисел, арифметических схем и алгебраических многообразий.
Первоначально примеры одномерных локальных полей возникли в прошлом веке в комплексном анализе и алгебраической теории чисел. Это поле рядов Лорана С((г)), элементы которого возникают при разложении мероморфных функций на Ри-мановой поверхности в ряд по локальному параметру г в аналитической окрестности точки, и поле р-адических чисел <3Р, возникающее как естественное пополнение поля рациональных чисел по неархимедову р-адическому нормированию.
Сейчас мы говорим, что 1-мерное локальное поле — это поле частных полного кольца дискретного нормирования.
Несколько позже, уже в тридцатых годах нашего века, появились уже и первые примеры локальных тел. Это были конечномерные тела над классическими локальными полями, которые были полностью исследованы Хассе, Брауэром, Нетер и Албертом. К этому же периоду относятся работы Витта ([36]) о телах над полными дискретно нормированными полями, положившие начало исследованиям по телам над гензелевыми полями, основные результаты о структуре которых были получены сравнительно недавно Джекобом-Уодствортом ([18]). Витту же принадлежит идея естественного сопоставления телам алгеброгеометрических объектов.
В середине 70-х А. Н. Паршиным было предложено понятие многомерного локального поля, обобщающее понятие обычного локального поля ([7],[27], [16]).
«.-мерным локальным полем называется полное поле дискретного нормирования, полем вычетов которого является п — 1-мерное локальное ноле.
Один из типичных примеров такого поля — эго поле итерированных рядов Лорана к((г 1))((гг))... ((.гп)). Элементы г,..., гп называются локальными параметрами этого поля.
Такие поля служат естественным обобщением локальных объектов на 1-мерных схемах на случай многомерных схем. В качестве примера приведем здесь типичную конструкцию такого обобщения.
Рассмотрим алгебраическую схему X размерности п. Пусть У0 Э ... Э Уп — флаг замкнутых подсхем на X, так что У0 = X, ¥п — х — замкнутая точка на ж, У; — коразмерности 1 в У^_1 (1 <*<«•), ® — гладкая точка на всех У* (0 < г < п). Тогда существует конструкция, являющаяся композицией пополнений и локализаций, сопоставляющая такому флагу каноническим способом ?г-мерное локальное поле. Более того, если X — алгебраическое многообразие над полем к, х — рациональная точ-

ка над шлем к, и мы зафиксируем локальные параметры г2,..., гп 6 к(Х), так что 2п_г+1 =0 — уравнение многообразия Yi на многообразии 3^_! в окрестности точки ж (1 < г < п), то полученное »-мерное локальное поле можно отождествить с МЫ)(Ы)...(Ы). ([27], [16]).
При помощи »-мерных локальных полей, ассоциированных с полными флагами на многообразиях, были обобщены со случая кривых на случай высших размерностей классическая формула о равенстве нулю суммы вычетов рациональной дифференциальной формы, классический закон взаимности Вейля на кривой. (В многомерной ситуации известный сейчас как закон взаимности Паршина-Ломадзе [7], [5], [8], [16]).
В последние 25 лет развитие и применение методов локальных полей происходило еще в одном направлении. Это применение в алгебраической геометрии и теории интегрируемых систем, связанные с соответствием Кричевера-Сато-Вилсона на кривой (более подробно о соответствии Кричевера, решении иерархии КП, а также задаче нахождения коммутативных подколец в кольце дифференциальных операторов см. [3], [12], [26], [33]).
Недавно появились работы [29], [30], [10], развивающие идеи, заложенные в соответствии Кричевера-Сато-Вилсона для кривых, на случай многообразий высшей размерности в духе теории многомерных локальных полей. В них, в частности, было обобщено понятие многомерного локального поля и предложено классифицировать такие объекты. Там же были сделаны первые шаги в этом направлении. Обобщение понятия локального поля выглядит вполне естественно:
»-мерным локальным телом называется полное тело дискретного нормирования, телом вычетов которого является п — 1-мерное локальное тело.
В качестве основополагающего примера в этих работах было кольцо псевдодиф-ференциальных операторов, играющее важную роль при решении иерархии КП. В работе [10] в качестве первых примеров многомерных локальных тел были рассмотрены тела псевдодифференциальных операторов от нескольких переменных и получены некоторые теоремы сопряженности для этих тел.
В настоящей работе сделана попытка систематического изучения многомерных локальных тел, принимая во внимание лишь определение. К сожалению, уже на первых шагах на этом пути возникают большие трудности, поэтому мы изучаем в основном лишь двумерные локальные тела, у которых первое тело вычетов коммутативно. Хотя ряд результатов относится к произвольным локальным телам, и в этом ряду прежде всего стоят предложение 1.7 и следствие 1.
Неожиданно общее исследование локальных тел привело к ряду результатов, относящихся не только к обобщению соответствия Кричевера-Сато-Вильсона и иерархии КП. Прежде всего, это результаты, относящиеся к строению группы Брауэра над многомерными локальными полями, которые являются важными примерами гензе-левых тел, а также примерами (7,-чолей. Используя общие явные формулы для рас-щепимых локальных тел, т.е. для тел, чье первое тело вычетов вложимо в кольцо номирования всего тела, удалось получить явное описание группы Брауэра двумер-

Если же д.|& + 1, то точно таким же рассуждением получаем, что дифференцирование. Следовательно, по лемме 1.11, существует замена г' н-> г" = г' + Ъг'к+2 (или г' + Ьг1к+3, если пк -)- 1) такая, что
тельность сходится в К. Отсюда получаем результат леммы.

Лемма 1.30 В К существует такой параметр и, что а(и) = где £п = 1, и для всех j 8'^п(и) = и(2* Уік,ипк) € ик((ип)), где у^ Є к, а остальные 8'к = 0.
Доказательство В силу леммы 1.29 считаем, что у нас уже выполняется соотношение из формулировки этой леммы. Будем делать последовательно замены типа и и’ = и + Ь]пгіп. При таких заменах, как легко видно из доказательства леммы 1.24, отображения 8к, п к, не меняются. По лемме 1.24, (і), в результате такой за-
элемснт Ь, чтобы выполнялось условие леммы.

Аналогично со случаем а = Ы, можно определить числа гп,гп и ап. Определение ап совпадает с прежним, а числа іп и гп определяются следующим образом:
Определение 1.31 Положим
где и, г — произвольные локальные параметры тела К, фг : К К, фг{а) = ай(г)(а).
Из двух предыдущих лемм следует, что если г — параметр из леммы 1.29, то 1п € иМ, а гп = 1 тос! п. Число как нетрудно заметить, — первое ненулевое отображение 8{п в утверждении леммы 1.30. Так же, как предложение 1.26, доказывается следующий результат:
Предложение 1.32 гп = г„(г/>, у ф тгМ), гп = гп(1п), ап — а„(и.5^+1,...,г/5*'»-1)
мены и'6)п = ив>п + Ьа — д/ди(иа)Ъ. В силу следствия 6 можно считать, что а(и) = £и, где — 1. Поэтому и^п = лЛ" -+ 6“ — £Ь. Отсюда видно, что можно выбрать такой
іп = »{(Фі” - 1)(м)) єиуоо
гп — й[([фгп — 1)(гі))г“’п той р] той іп €