Структурная характеризация алгебраических систем с ограничением на сложность булевой алгебры формульных классов подсистем

• Автор: Власов, Дмитрий Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 103 с.

1 Строение алгебраических систем конечной сигнатуры с конечным множеством элементарных типов бесконечных подсистем
1.1 Бескванторная интерпретируемость в мономорфных системах
1.2 Конечноморфность систем с конечным множеством теорий бесконечных подсистем
1.3 Строение алгебраических систем конечной сигнатуры с конечным множеством элементарных типов бесконечных подсистем
2 Строение шкалы интерпретируемости для систем, бескван-торно выражающихся через заданный линейный порядок
3 Строение сильно субминимальных систем
3.1 Определение субранга и субстепени
3.2 Строение сильно субминимальных систем

Исследование структурных свойств алгебраических объектов является клас сической задачей, решавшейся на протяжении всего развития современной математики. Но, как правило, полное решение проблемы структурной классификации находилось лишь для узких классов алгебраических систем: конечно порождённых абелевых групп, векторных пространств, алгебраически замкнутых полей и т.д. Для постановки общей проблемы классификации в 70-80 годах XX века С. Шелахом [12] была разработана теория стабильности, в которой условие классифицируемости для аксиоматизируемых классов систем было точно сформулировано и обосновано [1], [20].
Но, тем не менее, в рамках теории стабильности такой естественный и важный объект как бесконечный линейный порядок оказывается нестабильным, то есть не поддающимся структурной классификации. В связи с эти были предложены и другие подходы к построению структурной теории для нестабильных теорий - в частности теория О-минимальных структур [2], Т*-стабильность [18] и .^-стабильность [19], обобщающие классическое понятие стабильности.
В классической теории стабильности для классификации алгебраических систем используется понятие системы инвариантов - некоторого дерева, листья которого помечены кардиналами. Существование такой системы инвариантов для теории автоматически влечёт немаксимальность функции спектра для достаточно больших мощностей [13], поэтому теория линейного порядка, имеющая максимальный спектр, не может быть классифицирована при помощи такой системы инвариантов. С другой стороны, теория О-минимальных структур возникла из идеи, что в качестве

инварианта для классификации алгебраических систем можно взять сам порядковый тип некоторого линейного порядка, то есть линейный порядок изначально брался в качестве базового простейшего объекта [9].
Кроме того, простейшие в смысле классического понятия стабильности объекты - сильно минимальные алгебраические системы - оказываются устроенными весьма не просто. Некоторое время стояла гипотеза Зильбе-ра [14] утверждающая, что сильно минимальные алгебраические системы либо интерпретирут бесконечное поле, либо локально модулярны. Однако Хрущовский [7] опроверг эту гипотезу, построив не локально модулярную сильно минимальную алгебраическую систему, в которой не может интерпретироваться никакая бесконечная группа.
Данная работа посвящена построению теории, подобной теории ш - стабильности [8], в которой понятие элементарного типа кортежа замещается на понятие элементарной теории подсистемы. Практически вся теория моделей построена на базовом понятии элементарного типа кортежа - множества формул, характеризующих элементы этого кортежа относительно всех других элементов системы. Понятие типа кортежа по существу описывает отношение между элементарным объектом (кортежом), элементы которого не имеют структуры, и всеми остальными элементами структуры. С другой стороны, если мы попытаемся ввести тип принципиально другого объекта -подсистемы в некоторой исходной системе, то этот объект уже может иметь сложную внутреннюю структуру, и в качестве элементарной характеристики такого объекта можно рассмотреть элементарную теорию этой подсистемы. Заметим, что в отличие от классического понятия типа кортежа в системе, элементарная теория подсистемы описывает не отношение этой подсистемы с другими частями исходной системы, а локально-глобальные
рядоченно либо по типу со либо по типу со*. Пусть множество У упорядоченно по типу со. Пронумеруем элементы множества У по возрастанию: Уо = {а* |г < со}. Заметим, что между элементами аг- и аг-+х в множестве А содержится подмножество /(а,-, аг+[) упорядоченное по типу со. Действительно, можно построить последовательность аг- < Ь} < 6? < ... < Ц < Ц+1 < ... < а|+х поскольку у элемента а,+х нет предшественника, то есть такого элемента, что между ним и аг+х нет никаких других элементов. Рассмотрим множество В х,а,+х), которое имеет порядковый тип
си-ш. По уже доказанному при п ф т подсистемы с носителями упорядоченными по типам М'ПИШ'Ш элементарно нееквивалентны, но в подсистеме с носителем В есть все подмножества с порядковыми типами носителей со ■ п, п < со, что противоречит конечности множества элементарных типов бесконечных подсистем в исходной системе 21. В случае когда множество Уо упорядоченно по типу со* в точности как и в предидущем случае можно пронумеровать элементы У по убыванию: У = {а,;|г < со} и заметить , что между любыми двумя соседними в У элементами а,- и а,+х в множестве А существеут подмножество Да,-,а,+х), которое упорядоченно по типу со. Но тогда множество В ^ и><и Да»>аг'+1) будет упорядоченно по типу со - со*, а значит в подсистеме © можно найти подсистему с носителем упорядоченным по типу со ■ п для любого п < со, то есть в © найдётся бесконечное множество попарно элементарно неэквивалентных подсистем, что противоречит исходному предположению. Доказательство конечности множества V- проводится совершенно аналогично доказательству конечности множества У+.
Теперь рассмотрим множество V = У+ I) V— Ясно, что это множество конечно. Докажем, что если ах,два соседних в V элемента, то отрезок